Главная страница

Диссипативная деградация вращения

    Постановка задачи

    Нашей целью является промоделировать движение относительно своего центра масс таких в основном газовых образований как звёзды и дальние планеты солнечной системы (Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун). Последние имеют, кроме основной наружной газовой части, ещё и внутренюю каменную сердцевину.

    Предполагается, что рассматриваемое небесное тело занимает выпуклую пространственную область D, представляющую собой тело вращения и ограниченную осесимметричной поверхностью S. Предполагается также, что вне поверхности S находится вакуум, т.е плотность ρ и все компонетны тезора напряжений T пренебрежимо малы по сравнению с максимальными значениями тех же величин внутри области D. 

  Последнее предположение даёт возможность пренебречь работой, совершаемой поверхностными силами на поверхности S, а уравнение баланса механической энергии в интегральной форме имеет вид /* Continuum mechanics for engineers / George E. Mase, G. Thomas Mase. Boca Raton : CRC Press, 1992*/:

 

                                dK/dt = B – I,                                                                           (1)

где

 

              K = ½ ∫ ρv² dV – полная кинетическая энергия, 

 

              B = ∫ ρ(g·v)dV – мощность массовых сил, 

 

              I = ∫ (T·D)dV – мощность поверхностных сил (напряжений), действующих внутри тела, 

 

интегрирование производится по всей области D, причём t – время, v – вектор скорости, g – гравитационное ускорение, D – тензор скоростей деформаций. 

   Дополнительные предположения: 

1. Преобладающим видом движения среды является вращение вокруг оси поверхности S, т.е в цилиндрической системе координат (r, φ, z), ось которой совпадает с осью поверхности S, из всех компонент скорости можно считать отличной от нуля только азимутальную компоненту v_φ, причём эта скорость, как и плотность ρ, не зависят от координаты φ.

2. Гравитационное ускорение g определяется только распределением масс внутри области D.

    Теорема о монотонном убывании полной кинетической энергии

  Как следует из предположения 1, из всех компонент тензора скоростей деформаций отличными от нуля оказываются только следующие:

                      D_rφ = D_φr = ½  r  ∂/∂r (v_φ/ r),

                      D_zφ = D_φz = ½ ∂v_φ/∂z,

т.е. тензор скоростей деформаций в рассматриваемом случае имеет только девиаторную часть и не имеет шаровой. Таким образом, в свёртке тензоров (T·D) участует только девиаторная (диссипативная) часть тензора напряжений, величина I является положительно определённой

                                                                      I ≥ 0                                            (2)

и представляет собой мощность диссипации энергии внутри тела.

   Из предположений 1 и 2 следует, что центр масс системы находится на оси вращения, т.е. для азимутальной составляющей g_φ вектора гравитационного ускорения выполнено условие

                                                         g_φ = 0.                                                     (3)

   Учитывая соотношение (3) и предположение 1, мы приходим к выводу, что мощность массовых сил равна нулю:

                                            B = 0.                                                                   (4).

 Из соотношений (1), (2) и (4) вытекает, что вследствие диссипации энергии полная кинетическая энергия K со временем только убывает.

    Теорема о монотонном возрастании радиуса инерции небесного тела

  Пусть   f, g – функции точки, заданные на области D. Определим скалярное произведение таких функций как интеграл по области D

                    (f, g) = ∫ ρ f g dV. 

   Модуль вектора углового момента (момента количества движения) М представляется тогда как скалярное произведение функций r и v_φ:

                  М = ∫ ρ r v_φ dV =  (r , v_φ).                                                              (5)

   Из неравенства Коши-Буняковского-Шварца следует, что                   

                  М ² =  (r , v_φ) ² ≤  (r , r ) (v_φ, v_φ) = 2J_z K= 2т r_z² K,                                                  (6)

  где   

             J_z = ∫ ρ r ²dV – момент инерции системы относительно оси вращения, 

                                      

             т = ∫ ρ dV – полная масса системы, 

 

              r_z = (J_z / т )^½  – радиус инерции системы относительно оси вращения, который можно рассматривать как меру «размытости» системы. 

                                          

   Из (6), в свою очередь, следует, что

             r_z ≥ М / (2т K ) ^½ .                                                                               (7)

   Учитывая, что кинетическая энергия K со временем может только убывать, мы приходим, таким образом, к выводу, что

• для поддерживаемых собственной гравитацией вращающихся систем, для которых выполняется условие постоянства массы т и углового момента М, радиус инерции может только возрастать, т.е. такие системы могут со временем только расплываться.

 

 И.С. Житомирский

Дата последнего изменения: 27.02.08

Главная страница