Главная страница

Учёт диффузии в уравнении неразрывности

    Как правило, среда газового небесного тела представляет собой смесь различных газовых компонентов. Если влияние химических реакций между компонентами несущественно, уравнение неразрывности для i-го компонента газовой имеет вид

                              ∂ρ_i/∂ t + div Q_i = 0,                                        (1)

где

t – время;

ρ_i – массовая плотность i-го компонента;

Q_i – вектор плотности потока массы i-го компонента.

    В плотных слоях газового небесного тела вектор Q_i определяется в основном скоростью течения v в рассматриваемой точке:

                                                                      Q_i = ρ_iv,                                               (2)

Однако в разреженной части, где необходим учёт диффузии, в выражении для Q_i появляется дополнительное слагаемое, пропорциональное средней длине λ_i свободного пробега частиц i-го компонента. Как показывается в кинетической теории газов (см., например, [Gombosi, Tamas I.]), вектор Q_i представляется при этом формулой  

                                                         Q_i = ρ_iv – 1/3 λ_i grad(‹ω›_iρ_i),                            (3)

где ‹ω›_i = ‹ω›_i(Т) – являющаяся функцией от температуры Т средняя скорость теплового движения частиц i-го компонента. Уравнение неразрывности (1) приобретает тогда вид:

                              ∂ρ_i/∂ t + div ρ_iv = 1/3 div[λ_i grad(‹ω›_iρ_i)].                                   (4)

    В случае газовой среды, где преобладает один компонет, а влияние остальных можно не учитывать

                    λ = m /(αρ),

                  ‹ω› = (8 kT /πm)^½,

где

m – масса одной частицы газа;

α – площадь эффективного сечения столкновения частиц;

k – постоянная Больцмана;

T – температура газа.

    При этом уравнение неразрывности, учитывающее в рассматриваемом случае самодиффузию, записывается в форме

                              ∂ρ/∂t + div ρv = β div[1/ρ grad(T ^½ ρ)],                                      (5)

где

                               β = 1/(3α) (8 km/π)^½.

 

 И.С. Житомирский

Дата последнего обновления: 27.02.08

Главная страница