П. Плотник

Приближение упругого стержня в динамике одномерной цепочки

    Предлагаемая модель может быть использована для исследования передачи энергетических импульсов полимерными молекулами, а также при изучении колебаний некоторых типов кристаллической решётки.

  Дифференциальные уравнения и граничные условия

  Рассматривается модель продольных волн в цепочке имеющих одну и ту же массу m частиц P₁, P₂, ... P_n, ..., P_N. Колебания образующих цепочку частиц считаются малыми, т.е. смещение u_n частицы с номером п относительно своего положения равновесия (узла цепочки с номером п) значительно меньше расстояния a между соседними узлами:

                                            | u_n | << a.

. Предполагается, что сила взаимодействия соседних частиц имеет квазиупругий характер с коэффициентом жесткости α (жёсткость связи). Другими словами, если обозначить через f_{i, j}  силу, с которой частица P_i действует на частицу P_j, то сила взаимодействия соседних частиц P_n+1 и P_n определяется формулой:

                      f _{n+1, n} = – f _{n,  n+1} = α (u_n+1 – u_n).                                                   

  В качестве частиц могут рассматриваться отдельные атомы или группы атомов. В последнем случае предполагается, что жёсткость связи между атомами внутри группы значительно больше жёсткости связи между группами.

    При сделанных предположениях рассматриваемые как функции времени t смещения u_n(t) частиц, находящихся во внутренних узлах (1 < n < N), удовлетворяют системе дифференциальных уравнений:

    m d ²u_n /dt² = f _{n+1, n}  + f_{n–1, n} = α (u_n–1 – 2 u_n + u_n+1),   п = 2, 3, ..., N – 1.       (1)

    Для крайних узлов цепочки, т.е. для n = 1 и n = N, уравнения вида (1) не могут быть использованы, т.к. не определено одно из фигурирующих там перемещений. Вместо этого должны быть заданы как функции времени сторонние силы F₀(t) и F_N(t) (силы, которые действуют на крайние частицы цепочки со стороны объектов, цепочке не принадлежащих). При этом в крайних точках выполняются уравнения:

    m d ²u₁/dt ² = F₀ + f_{2, 1} = F₀ + α (u₂ – u₁) ,                                                      (2)

    m d ²u_N /dt ² = f_{N –1, N}  + F_N = α (u _{N –1} – u _N) + F_N.                                          (3)                       

    Решение системы дифференциальных уравнений второго порядка (1)-(3) определяется однозначно, если во всех узлах заданы также начальные условия:

                 u_n |_t=0 = p_п,                                                                                          (4)

                 du_n/dt |_t=0 = q_п                                                                                    (5)

при п = 1, 2, ..., N.   

/* Уравнения (1) широко используются в фононной теории колебаний кристаллической решётки [1] для анализа прохождения гармонических волн, однако ни сторонние силы в крайних точках, ни начальные условия при этом не учитываются.*/

  Приближение упругого стержня

    Введём пространственную координату х, принимающую значения х_n = na в узлах цепочки, и гладкую функцию и = и(х, t) переменных х и t, определённую в полуполосе

                                                   0 ≤ х ≤ L = Na,  t ≥ 0

таким образом, что при любом  t ≥ 0

                                                       и(х_n, t) = u_n(t).

    Обозначим через l характерный пространственный масштаб изменения функции и(х, t) при фиксированных значениях аргумента t и предположим, что выполнено условие:

                           ε = a/l << 1.                                                         (6)

    Стандартные методы теории разностных схем [2], основанные на разложении значений функции и(х, t) при х = х_n – a и х = х_n + a в ряд Тейлора в окрестности точки х = х_n, позволяют аппроксимировать фигурирующие в (1) – (3) разностные выражения частными производными по переменной х. При этом оказывается, что вторая разность в (1) даёт аппроксимацию второго порядка для второй частной производной:

    u_n–1(t) – 2 u_n(t) + u_n+1(t) = u(х_n – a, t) – 2 u(х_n, t) + u(х_n + a, t) =  a² [∂²u(х_n, t)/∂х² + O(ε²)].         (7)

    С помощью (7) можно систему дифференциальных уравнений  (1) c точностью до малых порядка O(ε²) приближённо заменить одним уравнением в частных производных гиперболического типа

                  ∂²u /∂t² =  c² ∙ ∂²u /∂х²,                                            (8)

где

                             c = a (α/m)^½.                                                

    Благодаря второму порядку аппроксимации уравнение (8) даёт вполне приемлемую точность уже при ε ≈ 10^–1.

    Та же методика позволяет в приграничных точках получить аппроксимацию, но на этот раз только первого порядка, для фигурирующих в (2) и (3) первых разностей:

         α [u₂(t) – u₁(t)] = α [u(2a, t) – u(a, t)] = β [∂u(0, t)/∂х + O(ε)],                

         α [u _{N –1}(t) – u _N(t)] = α [u(L– a, t) – u(L, t)] = – β[∂u(L, t)/∂х + O(ε)],         

где коэффициент β = α a имеет размерность силы.

    Используя дифференциальное уравнение (8) в приграничных точках, мы приходим к выводу, что члены в (2) и (3), содержащие вторые производные по времени, сами являются малыми порядка O(ε). Так, например, 

   m ∙ d ²u₁/dt ² = m ∙ ∂²u(a, t)/∂t² = α a² ∙∂²u(a, t) /∂х² = β O(ε).

    Таким образом, уравнения (2) и (3) можно с точностью до малых порядка O(ε) приближённо заменить граничными условиями:

     β ∂u/∂х|_x=0 = –  F₀,                                                                (9)

     β ∂u/∂х|_x=L = F_L,                                                                   (10)

где F_L = F_N – переобозначенная сторонняя сила в конце цепочки.

    Для получения начальных условий для функции и(х, t) нужно гладко доопределить на всём интервале 0 ≤ x ≤ L функции р(х) и q(х), заданные равенствами (4), (5) лишь для дискретных значений аргумента х = х_n. При этом получаем:

                        u |_t=0  = p(х),                                                    

                       ∂u/∂t |_t=0 = q(х).

    Для упрощения изложения мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением частного случая, когда в начальный момент времени равны нулю как сами смещения, так и скорости их изменения, т.е.

                        u |_t=0  = 0,                                                           (11)

                       ∂u/∂t |_t=0 = 0                                                         (12)

при 0 ≤ x ≤ L.

    Сформулированная математическая задача (8)-(12), ничем не отличается от задачи продольных колебаний упругого стержня [3] и будет в дальнейшем называться приближением упругого стержня в  динамике цепочки частиц.

  Необходимость бокового опирания

    Как хорошо известно в механике твёрдого деформируемого тела [4], упругие стержни, работающие на сжатие, оказывается неустойчивыми и выпучиваются (прогибаются вбок), если они недостаточно сопротивляются изгибу. Такие стержни могут передавать продольные волны только с амплитудой, не превосходящей некоторую критическую величину, пропорциональную изгибной жёсткости стержня.

    Что касается одномерной цепочки частиц, то она вообще не сопротивляется изгибу и оказывается неустойчивой по отношению к сколь угодно малому поперечному усилию. Поэтому предлагаемая модель может описывать реальные процессы только в тех случаях, когда имеются факторы, предохраняющие цепочку от бокового прогиба.        

  Характеристики и бегущие волны

     Уравнение (8) имеет два семейства характеристик, которым в плоскости (х, t) соответствуют два семейства параллельных прямых:

                          t – х/c = C₁,                                                             (13)

                          t + х /c = С₂,                                                

где C₁ и C₂ – произвольные постоянные. Прямые второго семейства для наших целей будет удобно представить в форме  

                         t + х/c – L /с = С'₂,                                                   (14)

где C'₂ = C₂ – L /с.   

    Общее решение уравнения (8) выражается в виде суммы:

                  u(х, t) = u_Φ(х, t) + u_Ψ(х, t),                                              (15)

где

                  u_Φ(х, t) = Φ(t – х/c),

                  u_Ψ(х, t) = Ψ(t + х/c – L /с),                                       

а Φ(s) и Ψ(s) – произвольные дважды дифференцируемые функции одного аргумента s, имеющего размерность времени.

    Слагаемое u_Φ(х, t) в правой части (15) или Φ-волна сохраняет постоянное значение на прямых семейства (13) и определяет волну, бегущую вправо со скоростью c.

Для Φ-волны граница х = 0 является входом, а граница x = L – выходом. Это означает, что значение Φ(t₀), которое имела функция u_Φ(х, t) в некоторый момент t₀ на входе, она принимает затем в последующие моменты времени t, удовлетворяющие условию t₀ < t ≤ t₀ + L/c, в точках х = (t – t₀)∙с.

    Аналогично, функция u_Ψ(х, t) или Ψ-волна сохраняет постоянное значение на прямых семейства (14) и определяет волну, бегущую влево, которая имеет вход при x = L, а выход – при х = 0. Иначе говоря, значение Ψ(t_L), которое имела функция u_Ψ(х, t) в точке x = L в некоторый момент времени t_L, она принимает затем в точках х = L – (t – t_L)∙с в моменты времени t, удовлетворяющие условию t_L < t ≤ t_L + L/c. 

    Во всей области определения частные производные функций u_Φ(х, t) и u_Φ(х, t) удовлетворяют соотношениям: 

              ∂u_Φ/∂t = – с ∂u_Φ/∂х = φ(t – х/c),                                          (16)          

              ∂u_Ψ/∂t = с ∂u_Ψ/∂х = ψ(t + х/c – L /с),                                   (17)

где

             φ(s) = dΦ/ds,   ψ(s) = dΨ/ds.

  Требуемый силовой отклик и генерирующая сила  

    Граничные условия (9), (10) и выражение (15) для функции u(х, t) позволяют представить каждую из сторонних сил в виде суммы двух сил:

     F₀(t) = G₀(t) + R₀(t),                                                          (18)

     F_L(t) = R_L(t) + G_L(t),                                                          (19)

которые, учитывая также (16), (17), можно выразить равенствами:

    G₀(t) =  – β ∂u_Φ/∂х|_x=0 = ξ ∂u_Φ/∂t|_x=0 = ξ φ(t),                      (20)         /*сила, генерирующая Φ-волну*/                       

    R₀(t) =  – β ∂u_Ψ/∂х|_x=0 = – ξ ∂u_Ψ/∂t|_x=0 = – ξ ψ(t – L /с),      (21)          /*требуемый силовой отклик на Ψ-волну*/         

    R_L(t) = β ∂u_Φ/∂х|_x=L = – ξ ∂u_Φ/∂t|_x=L = – ξ φ(t – L /с),          (22)          /*требуемый силовой отклик на Φ-волну*/             

    G_L(t) = β ∂u_Ψ/∂х|_x=L  =  ξ ∂u_Ψ/∂t|_x=L = ξ ψ(t),                       (23)         /*сила, генерирующая Ψ-волну*/

где

       ξ = β/c = (α m)^½.

• Сторонняя сила F(t) на каждой стороне цепочки может быть представлена в виде суммы:

F(t) = R(t) + G(t),

где сила R(t) является требуемым откликом на выходящую волну, а сила G(t) генерирует волну, входящую в цепочку.  

  Рекурсивные формулы 

    В любой заданный момент времени t на каждой стороне цепочки сторонняя сила F(t) определяется внешними по отношению к цепочке условиями, а требуемый силовой отклик R(t) – событиями, имевшими место в момент времени, на L /с более ранний, чем t. Таким образом, в момент t величину сил F(t) и R(t) можно считать заданной, а силу G(t) вычислять как разность между ними

          G(t) = F(t) – R(t).                                                        (24)

   Из (24) и (20)-(23) следуют справедливые при всех t > 0 рекурсивные формулы для производных от функций Φ и Ψ:

       φ(t) = ξ^–1 F₀(t) + ψ(t – L /с),                                           (25)      

       ψ(t) = ξ^–1 F_L(t) + φ(t – L /с),                                           (26)

    Соотношения, определяющие начало рекурсии:

               φ(t) = ψ(t) = 0  при  – L /с < t ≤ 0,                         (27)

могут быть легко получены из начальных условий (11), (12).

    Интегрирование равенств (25) и (26) по времени от 0 до t даёт рекурсивные формулы для самих функций Φ и Ψ, справедивые для t > 0:

                                            t                          

                Φ(t) = ξ^–1 ∫ F₀(s) ds + Ψ(t – L /с),                           (28)      

                                          0 

                                            t                          

                Ψ(t) = ξ^–1 ∫ F_L(s) ds  + Φ(t – L /с),                         (29)

                                           0 

а для начального периода – L /с < t ≤ 0 из (27) тем же способом получаем

               Φ(t) = Ψ(t) = 0.                                                        (30)

/*При выводе формул (28)-(30) не играющие существенной роли аддитивные константы выбраны равными нулю.*/

• Решение дифференциального уравнения (8), удовлетворяющее граничным условиям (9), (10) и начальным условиям (11), (12), представляется в виде суммы (15) Φ- волны и Ψ-волны, форма каждой из которых определяется рекурсивными формулами (28), (29) и начальными условиями (30).
• Форма пробегающих в цепочке волн определяется зависимостью от времени сторонних сил F₀(t) и F_L(t), действующих на концах цепочки.

  Обмен энергией между цепочкой и внешними объектами

    Как следует из (18) - (23), мощности Р₀(t) и Р_L(t), вырабатываемые сторонними силами F₀(t) и F_L(t) или, что то же самое, потоки энергии, переносимые волной на концах цепочки, определяются выражениями:

       Р₀(t) = F₀(t) ∂u/∂t|_x=0

              = [G₀(t) + R₀(t)] ∙ [∂u_Φ/∂t|_x=0 + ∂u_Ψ/∂t|_x=0] = ξ^–1{[G₀(t)]² – [R₀(t)]²}= ξ {[φ(t)]² – [ψ(t – L /с)]²},    (31)

       Р_L(t) = F_L(t) ∂u/∂t|_x=L

              = [R_L(t) + G_L(t)] ∙ [∂u_Φ/∂t|_x=L + ∂u_Ψ/∂t|_x=L] = ξ^–1{[G_L(t)]² – [R_L(t)]²}= ξ {[ψ(t)]² – [φ(t – L /с)]²}.   (32)

• Каждая из бегущих волн переносит полученную на входе энергию, которую отдаёт на выходе с запаздыванием на L/c.
• На каждой стороне цепочки сила G передаёт частицам цепочки пропорциональный G ² поток энергии, а сила R выводит из цепочки поток энергии, пропорциональный R ².

• Мощность Р(t), вырабатываемая сторонней силой F(t), представляет собой разность между потоками входящей в цепочку и выходящей из цепочки энергии.      

    Используя (31)-(32) и выражение (24) для генерирующей волну силы G(t), можно представить мощность Р(t) в следующих эквивалентных формах:

      Р(t) = ξ^–1{[G(t)]² – [R(t)]²}= ξ^–1{[F(t) – R(t)]² – [R(t)]²} = ξ^–1F(t) [F(t) – 2R(t)].                                    (33)                                                         

    Рассмотрим величину Р(t) как функцию аргумента F(t) при заданном значении R(t). Как видно из (33), эта функция:

– имеет минимум при F(t) = R(t), 

– имеет корни при F(t) = 0 и F(t) = 2R(t), 

– принимает отрицательные значения, когда F(t) R(t) > 0 и 0 < |F(t)| < 2|R(t)|.

• Если сторонняя сила F(t) равна требуемому отклику на выходящую волну R(t), то находящиеся вне цепочки объекты полностью поглощают выносимую из цепочки энергию, ничего не отдавая взамен.
• Вводимый в цепочку и выводимый из цепочки потоки энергии равны друг другу в тех случаях, когда:

либо F(t) = 0 (свободная граница) и выводимая волна полностью отражается,

либо F(t) = 2R(t) и внешние по отношению к цепочке объекты не только поглощают всю энергию, выносимую выходящей волной, но и генерируют входящую волну с энергией, равной поглощённой.

• Вводимый в цепочку поток энергии оказывается меньше выводимого в тех случаях, когда F(t) R(t) > 0 и 

либо 0 < |F(t)| ≤ |R(t)|, причём выходящая волна частично поглощается и частично отражается,

либо |R(t)| ≤ |F(t)| < 2|R(t)|, причём выходящая волна полностью поглощается, но для генерации входящей волны может быть использована не вся поглощённая энергия.     

• Если F(t) R(t) < 0  или F(t) R(t) > 0 и |F(t)| > 2|R(t)|, то вводимый в цепочку поток энергии больше выводимого.  
• Если R(t) = 0, т.е. выходящая волна отсутствует, то G(t) = F(t), т.е. любая сторонняя сила генерирует входящую волну и тем самым вносит энергию в цепочку.
• Зависимость от времени потоков энергии в цепочке определяется зависимостью от времени сторонних сил F(t).
• Первичная генерация волн возможна только при наличии стороннего источника энергии, зависимость которого от времени определяет вид функций F(t).

  Импульсные волны

    Наиболее важным для приложений является частный случай зависимости сторонней силы F(t) от времени – импульсное воздействие, когда сторонняя сила отлична от нуля только на конечном интервале времени длиной τ. Как следует из полученных ранее результатов, в приближении упругого стержня на любой стороне цепочки импульсное воздействие при отсутствии встречной волны порождает бегущую со скоростью с импульсную волну, имеющую пространственную протяжённость

l = τ c                                              

и переносящую энергию

                                                         τ                          

Е = ξ^–1 ∫ [F(s)]² ds.                              

                                                        0 

• В приближении упругого стержня импульсная волна в одномерной цепочке является уединённой волной, сохраняющей свою форму и энергию, и представляет собой пример линейного или упругого солитона.  
• Энергия Е, принесенная упругим солитоном на какой-либо край цепочки, полностью передаётся внешним объектам только в том случае, когда сторонняя сила F на выходе адекватна требуемому отклику R, т.е. F(t) = R(t) на всём промежутке времени длиной τ между приходами переднего и заднего края волны;
• В случаях слабого отклика, когда F(t) R(t) > 0 и |F(t)| << |R(t)|, бóльшая часть энергии упругого солитона передаётся отражённой волне и, если выполнено также условие     

                           l < 2 L,                                              

      возникает бесконечная последовательность отделённых друг от друга и постепенно ослабевающих отражённых упругих солитонов, возвращающихся на каждый из краёв с периодом 2L/c .

Литература

1. Постников В.С. Физика и химия твёрдого состояния.- М.: Металлургия, 1978.- 544 с.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1989.- 616 с.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.- М.: Наука, 1974.- 432 с.

4. Филин А.П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. Т. 3.- М.: Наука, 1981.- 480 с.

 

Дата последнего обновления:  06.05.10

Реальная физика