П. Плотник

Газ как сплошная среда

   Частицы газа        

    По определению газ представляет собой систему частиц, каждая из которых взаимодействует с другими в течение времени, пренебрежимо малого по сравнению с тем, когда такое взаимодействие отсутствует и частица совершает свободый пробег.. При этом частица газа может представлять собой как отдельный атом, так и молекулу – устойчивую группу атомов, связанных между собой химическими взаимодействиями.

   Усреднение по объёму        

    Основой газо-термодинамики – науки о течениях и тепловых процессах в газе – является представление о газе как о сплошной среде. Это означает, что физические параметры определяются не для систем фиксированных частиц, а для фиксированных пространственных областей, рассматриваемых вместе со всеми частицами, находящимися в них в данный момент времени. Такой подход реализуется с помощью осреднения параметров составляющих газ частиц по некоторым областям осреднения (ОО) A. Будем считать, что для каждой точки пространства ОО представляет собой шар радиуса r_а с центром в этой точке. 

    Рассмотрим произвольную инерциальную систему отсчёта, которую мы будем называть лабораторной системой, и связанную с ней декартову систему координат Ох₁, х₂, х₃,. Пусть вокруг некоторой точки, имеющей радиус-вектор х = (х₁, х₂, х₃), выделена ОО А(х). Если в данный момент времени t в ОО А(х) находится N(t) частиц, обладающих одной и той же массой m, то плотность числа частиц n и массовая плотность ρ определяются как функции точки и времени следующими формулами:

           n(х, t) = N(t)/V_а,

           ρ(х, t) = m n(х, t),

           V_а = 4/3 π  r_а³.                                                                             

   Обозначим через w_μ(t) скорость μ-ой частицы в момент времени t. Тогда скорость течения v как функция точки и времени определяется с помощью осреднения скоростей w_μ(t) частиц, находящихся в данный момент времени в ОО А(х):

                                        N(t)

       v(х, t) = N(t)^–1 Σ w_μ(t).                                                                                                  (1)

                                        μ=1     

    Тепловое движение и тепловые скорости

    Для любой точки х и связанной с ней ОО А(х) скорости w(t) движения частиц, находящихся в момент времени t в А(х) можно представить в виде суммы:

       w(t) = v(х, t) + ω(t).                                                                                                        (2)

     При этом величины

       ω(t) = w(t) – v(х, t),                                                                                                        (3)

 которые мы будем называть тепловыми скоростями, в силу самого своего определения зависят не только от времени t, но и от точки х.

     В самом деле, пусть имеются две точки х₁ и х₂, такие, что их ОО пересекаются и

         v(х₁, t) ≠ v(х₂, t).

    В этом случае частица, пролетающая в текущий момент времени через пересечение А(х₁) и А(х₂) со скоростью w(t) в лабораторной системе, имеет с точки зрения х₁ тепловую скорость

     ω₁(t) = w(t) – v(х₁, t),

а с точки зрения х₂ тепловую скорость

     ω₂(t) = w(t) – v(х₂, t),

причём

      ω₁(t) ≠ ω₂(t).

Таким образом,

       ω = ω (х, t).

     С другой стороны, для фиксированной точки х переход от одной инерционной системы отсчёта к другой, движущейся относительно первой со скоростью v*, меняет на величину v* скорости w(t) всех частиц, находящихся в данный момент времени в ОО А(х), и скорость течения v(х, t), тогда как тепловые скорости остаются неизменными.

·        Тепловые скорости ω(х, t) инвариантны относительно выбора системы отсчёта. 

     Рассмотрим произвольные точку х₀ и момент времени t₀. Системой мгновенного локального покоя (СМЛП) мы называем инерциальную систему отсчёта, движущуюся  относительно лабораторной с постоянной скоростью v(х₀, t₀) и имевшую начало в точке х₀ в момент времени t₀. СМЛП характеризуется тем, что в ней при х = х₀ и t = t₀ скорость течения равна нулю. Можно сказать, что тепловая скорость частицы – это скорость в СМЛП.

    Представление энергии движения частицы

     Если частица представляет собой молекулу, то движение атомов в ней может быть представлено в виде суперпозиции движения центра масс молекулы со скоростью w(t) и внутримолекулярного движения в системе отсчёта, связанной с центром масс. Во время свободного пробега молекулы энергия внутримолекулярного движения Е ^int, вообще говоря, меняется под действием внешнего электромагнитного поля, а кинетическая энергия Е ^kin поступательного движения молекулы как целого со скоростью w – под действием гравитационного поля. При столкновениях молекул происходит обмен энергиями как между молекулами, так и между составляющими Е ^int и Е ^kin.

    Обозначим через Е ^tr(х, t) усреднённую по области А(х) среднюю трансляционную энергию – кинетическую  энергию теплового движения молекулы как целого:

                                                           N(t)

           Е ^tr(х, t) = ½ т N(t)^–1 Σ ω_μ².                                                                                          

                                                          μ = 1     

·        Для любых фиксированных точки х₀ и момента времени t₀ в СМЛП средняя кинетическая энергия частиц в ОО А(х₀) меньше, чем в других инерциальных системах, и равна Е^th(х₀, t₀).

Действительно, из равенства (2) следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения ‹Е ^kin› удовлетворяет соотношению

                            N(t)                                                    N(t)

   ‹Е ^kin› = m  Σ (w_μ· w_μ) / 2N = m Σ [(v · v) + 2(v · ω_μ) + (ω_μ· ω_μ)]/ 2N.                                                                                                                                         

                           μ = 1                                  μ= 1                                                                      

     Как видно из (1) и (3),

     N(t)                                    

    Σ (v · ω_μ) = 0.                                                                                                                                                                                                                              

    μ = 1                                                                                               

    Таким образом, если обозначить через Е ^str = mv²/2 кинетическую энергию, связанную с течением, то в любой инерционной системе, для которой скорость течения v отлична от нуля,

     ‹Е ^kin› = Е ^str + Е ^tr > Е ^tr,                                                                                                         

что и требовалось доказать.                                                                                                  

   Основные газо-термодинамические функции

    Температура газа Т(х, t) и удельная внутримолекулярная энергия I(х, t) определяются формулами:

           Т(х, t) = 2/(3k) Е ^tr(х, t),                                                                                              

           I(х, t) = ‹Е ^int›/т,

где k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана.

    Совокупность скалярных функций ρ(х, t), Т(х, t), I(х, t) и векторной функции v(х, t) полностью характеризует как термодинамическое состояние, так и течение газовой среды. Эти функции будут называться в дальнейшем основными газо-термодинамическими функциями, а определение их значений – основной задачей газо-термодинамики. Таким образом, полная система уравнений для решения основной задачи должна включать в себя три скалярных и одно векторное уравнение. В качестве таких уравнений в газо-термодинамике используются скалярные уравнения баланса массы и энергии в единице объёма, векторное уравнение баланса импульса в единице объёма, а также скалярное уравнение состояния, связывающее функции Т(х, t) и I(х, t), которое может быть получено из рассмотрения процессов взаимодействия внутримолекулярного движения с внешним электромагнитным полем и столкновения молекул. 

   Заметим, что скорость течения v(х, t) в отличие от остальных основных функций не инвариантна относительно выбора инерциальной системы отсчёта.

   

Дата последнего обновления:  07.05.10

Реальная физика