Главная страница

                    Хотя данная работа был выполнена специально для обоснования изобретения Термодемпфирующая железобетонная свая для применения на вечной мерзлоте, она может представлять и самостоятельный интерес для геофизики

Температурный скин-слой земной коры и вечная мерзлота

                      Как меняется со временем температура воздуха

     В настоящее время почти весь земной шар покрыт метеорологическими станциями, которые регистрируют изменение во времени различных параметров, характеризующих погоду: температуру и влажность воздуха, силу и направление ветра, атмосферное давление, облачность, вид и количество осадков. В интернете для каждого дня нетрудно получить, наряду с текущими данными, и результаты статистической обработки предыдущих наблюдений за много десятков лет. В частности, для каждой календарной даты мы получаем как среднестатистические (усреднённые за весь период наблюдений) максимальное (послеполуденное) и минимальное (предрассветное) значение температуры воздуха, так и рекордные за тот же период значения этих температур. 

    Медленно и постепенно меняющиеся в течение года среднестатистические данные отражают наиболее сильно влияющий на погоду природный процесс – вращение Земли вокруг Солнца. При этом оказывается, что временное изменение с календарной датой усреднённое за многие годы для этой даты среднесуточной температуры воздуха может быть приближённо представлено в виде суммы среднегодовой температуры Т_тean и гармоники  Т_harm (t) = Т* sin[2π(t – r)/τ]. Эта гармоника имеет период τ = 1 год и начало отсчёта r, приходящееся примерно на середину апреля. Коэффициент Т* (половина амплитуды колебаний) равен отклонению средней температуры воздуха в июле от Т_тean. Величина Т_тean в приполярных областях имеет отрицательные значения, доходя в некоторых местах до -14 °C.

    Отличия реально наблюдаемых значений температуры воздуха от среднестатистических данных выглядят внешне как случайные флуктуации, не имеющие явной закономерности. Однако, по мере накопления новых знаний в области геофизики и астрономии становится всё более ясно, что эти отличия в значительной мере обусловлены вполне определёнными и достаточно хорошо предсказуемыми природными процессами. 

    Кроме вращения Земли вокруг Солнца и вокруг своей оси важную роль в формирование погоды на всём земном шаре играет взаимное движение Луны, Земли и Солнца, вызывающее непрерывное изменение сил гравитации, действующих на каждый элемент объёма воды в Мировом океане. Результатом этого воздействия является т.н. приливная волна, перемещающая гигантские массы воды с одной стороны земного шара на другую. Высота приливной волны достигает максимума во время новолуния, когда Солнце и Луна находятся по одну сторону от Земли, и, соответственно, минимума во время полнолуния. Поскольку океанические течения оказывают решающее влияние на температуру всей атмосферы, это означает, что в температуре воздуха в любой точке поверхности Земли должен просматриваться не только суточный и годичный ритмы, но и лунный ритм с периодом около 29 суток.  

    Имеется также ряд влияющих на климат процессов с продолжительностью цикла больше одного года. К ним относятся, в частности, цикл колебаний атмосферной циркуляции с периодом 2.38 лет, а также другие, пока не вполне ясные процессы в Тихом океане, порождающие попеременно аномально тёплые (Эль-Ниньо) и аномально холодные (Ла-Ниньо) течения в тропической зоне.

    На основе имеющихся метеорологических данных и с использованием гармонического анализа временная зависимость температуры воздуха в каждой точке земной поверхности может быть представлена в виде разложения Фурье

                                                                            T_air (t ) = Т_тean + Σ Т*_i sin[2π(t – r_i)/τ_i].                     (1)

                                                                                                        i

    В этом разложении имеет смысл учитывать только такие гармоники, у которых продолжительность цикла не превышает 20-30 лет. Для таких гармоник коэффициенты Т*_i составляют несколько градусов Цельсия для циклов с продолжительностью τ_i < 1 года и несколько десятых градуса Цельсия для циклов с τ_i > 1 года. При этом гармоника с годичным ритмом (главная гармоника) имеет максимальный коэффициент Т*_i около 15 °C.

    Заметим, что, поскольку периоды τ_i отдельных гармоник несоизмеримы, т.е не кратны одной и той же величине, функция T_air (t ) не является периодической (в математике функции, представляющиеся в виде суммы периодических функций с несоизмеримыми периодами, называются почти-периодическими). Как это свойственно почти-периодическим функциям, поведение температуры воздуха представляется на первый взгляд достаточно хаотическим с нерегулярно появляющимися отклонениями среднесуточной температуры от среднестатистического значения, доходящими по величине до 10-15 градусов Цельсия и имеющими длительность в несколько дней или недель.  

 

                             Температура грунта: математическое описание

    В отличие от температуры воздуха, метеорологи не регистрируют температуру грунта и, тем более, распределение температуры по глубине. Такой «недостаток внимания» к столь важной величине легко объясним, т.к. эти данные определяются не только климатическими условиями в данной области, но также составом и структурой почвы в рассматриваемом месте, влажностью почвы в данный момент времени и в предшествующее время, типом растительного покрова, толщиной снежного покрова и его предшествующей историей в зимний период, а также другими факторами, существенно меняющимися во времени и в пространстве. Таким образом, измерения температуры грунта даже в большом числе отдельных точек не могут дать общую картину для региона в целом и только математическое моделирование может предоставить нужную информацию об этом предмете.  

    Уравнение Фурье.

    Пусть Т(z, t) – температура грунта на глубине z и в момент времени t. Эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных, которое называется уравнением теплопроводности или уравнением Фурье:   

              C ∂T /∂t = ∂ (k ∂T /∂z)/∂z    0 < z < ∞, t > 0,                               (2)    

где k – коэффициент теплопроводности, C – объёмная теплоёмкость. 

    Для условий вечной мерзлоты типично наличие фазового перехода вода ↔ лёд на некоторой глубине z = ζ (t). Эта граница между водой и льдом удовлетворяет условию Стефана

                                  L dζ /dt =  [k ∂T /∂z] | _{z= ζ (t)},                                       (3)    

где L – скрытая объёмная теплота плавления, а квадратные скобки означают скачок заключённой в скобки величины.    

    В таблице 1 приведены ориентировочные значения фигурирующих в (2) и (3) свойств для некоторых видов грунтов, наиболее характерных для вечной мерзлоты, а также для воды.

 

Tаблица 1. Физические свойства основных типов грунта вечной мерзлоты

_______________________________________________________________________________________________

                                                                                        Мокрый песок  Мокрая глина  Мокрый торф  Вода/лёд

_______________________________________________________________________________________________

Tеплопроводность талого грунта, Вт/(м · К)                       1.9                     1.4                      0.7              0.6       

Объёмная теплоёмкость талого грунта, МДж/(м³·К)         2.8                       3                       2.8              4.2

Температуропроводность талого грунта, м²/с                  6.8·10^-7              4.7·10^-7               2.5·10^-7       1.4·10^-7

Теплопроводность мёрзлого грунта, Вт/(м · К)                   2.1                     1.6                       1                2.3

Объёмная теплоёмкость мёрзого грунта, МДж/(м³·К)       2.1                      2.2                     2.1              1.9

Температуропроводность мёрзлого грунта, м²/с             10·10^-7               7.3·10^-7               4.8·10^-7       12·10^-7 

Скрытая объёмная теплота плавления, МДж/м³                 67                      105                    210              332

 

    Заметим, что величина скрытой объёмной теплоты плавления полностью определяется количеством влаги, содержащейся в единице объёма грунта, а, поскольку влага располагается в порах, то, в конечном счёте, пористостью грунта – примерно 20 % для песка, 30 % для суглинка и 60 % для торфа. В результате оказывается, что все используемые в уравнениях (2) и (3) теплофизические свойства грунта зависят от агрегатного состояния содержащейся в нём влаги, т.е. от неизвестной температуры грунта. Диференциальные уравнения с зависящими от неизвестной функции коэффициентами называются нелинейными.   

    Как это обычно бывает для дифференциальных уравнений, задача Стефана (2), (3) имеет бесконечное число решений, так что для выделения единственного решения необходимо задать дополнительные ограничения. С этой целью рассмотрим тепловые процессы на поверхности грунта.

    Теплопередача через естественное покрытие грунта.

    Грунт имеет, как правило, меняющееся от сезона к сезону естественное покрытие, обладающее теплоизоляционными свойствами.

    Нижний слой этого покрытия – подстилка. Наиболее развита лесная подстилка, включающая полуразложившиеся опавшие сучья, хвою, отмершие корни и т.п. В тундре слой, похожий на лесную подстилку, имеется в местах произростания кустарников, а там, где растут травы, эту же роль играет слой дёрна – переплетение живых и отмерших корней. Значительно тоньше подстилка в местах, где растут мхи и лишайники, не имеющие характерной для цветковых растений корневой системы.

    В зимний период поверх подстилки возникает ещё один слой – снежный покров. Толщина этого покрова зависит не только от количества выпадающих в зимнее время осадков, но и от способности растительного покрова к снегозадержанию. В результате оказывается, что в лесу, а также в местах произрастания кустарников и трав слой снега оказывается настолько большим, что его теплового сопротивления вместе тепловым сопротивлением подстилки оказывается достаточным, чтобы в корневой зоне грунт никогда не замерзал, т.е. вечная мерзлота отсутствовала. Поскольку нас интересуют параметры вечной мерзлоты, мы будем рассматривать только места со сравнительно слабыми подстилкой и снеговым покровом. 

    Обозначим:

Δ_litter – толщина подстилки;  

k_litter – теплопроводность подстилки; 

Δ_{snow cover} – толщина снежного покрова;  

k_{snow cover} – теплопроводность снежного покрова; 

R_cover = Δ_litter / k_litter + Δ_{snow cover} / k_{snow cover} – суммарное тепловое сопротивление покрытия грунта;

T_{cover_surface} – температура поверхности покрытия;

T_{ground_surface} = Т(0, t) – температура поверхности грунта;

    Плотность теплового потока  q, проходящего через покрытие грунта, представляется тогда формулой:

                                             q = (T_{cover_surface} – T_{ground_surface}) / R_cover .        (4)

 

    Тепловой поток через поверхность покрытия грунта.

    Рассматривая тепловой поток, проходящий через покрытие грунта, на его внешней поверхности, мы можем представить фигурирующую в (4) плотность теплового потока q в виде суммы:

                                   q = q_сonvective + q_radiant + q_{precipitation} + q_evaporation,          (5)

где каждое слагаемое соответствует своему специфическому виду теплообмена:

q_сonvective – конвективному теплообмену между воздухом и поверхностью грунта,

q_radiant – лучистому теплообмену между поверхностью грунта и окружающим пространством,  

q_{precipitation} – теплу, приносимому или отбираемому выпавшими осадками, 

q_evaporation – теплу, теряемому грунтом при испарении воды или поглощаемому при конденсации атмосферных паров.  

    В инженерных расчётах конвективного теплообмена обычно используют формулу Ньютона, согласно которой 

                                   q_сonvective = h_сonvective (T_air – T_{cover_surface}),                                                 (6)

где h_сonvective – коэффициент конвективного теплообмена, оцениваемый с помощью эмпирических зависимостей.  

    Интенсивность лучистого теплообмена существенно зависит от величины облачности и становится пренебрежимо малой при сплошной облачности. Следовательно, для расчёта лучистого теплообмена необходимо получить дополнительные метеорологические данные относительно сезонной зависимости облачности.

    В процессе лучистого теплообмена поверхность покрытия грунта поглощает солнечное излучение в дневное время и круглосуточно испускает в космос собственное излучение. В Арктике, где солнце никогда не поднимается высоко над горизонтом, поглощаемое покрытием грунта тепловое излучение солнца значительно меньше собственного излучения поверхности покрытия. Особенно сильно этот эффект проявляется при наличии снежного покрова, т.к. снег имеет ничтожно малую поглощательную способность в спектральном диапазоне, характерном для солнечного излучения (альбедо снега близко к единице) и, наоборот, близкую к единице излучательную способность в инфракрасной области, на которую приходится максимум излучения Земли. Поэтому, если мы полностью проигнорироем лучистый теплообмен, то получим оценку температуры грунта сверху, что вполне достаточно для наших целей.

    Тот же самый вывод можно сделать как относительно теплообмена поверхности покрытия грунта с осадками q_{precipitation}, так и относительно потока тепла, связанного с испарением/конденсацией воды q_evaporation, которые к тому же в условиях Арктики обычно пренебрежимо малы. Таким образом, полагая 

                                   q ≈ q_сonvective = h_сonvective (T_air – T_{cover_surface}),                      (7)

мы получим оценку температуры грунта сверху.

    Граничное условие на поверхности грунта.

    Исключив из (4) и (7) температуру поверхности покрытия T_{cover_surface}, получаем соотношение:

                                  q = h (T_air – T_{ground surface}),                                                 (8)

где

h = 1 / R – коэффициент теплопередачи;

R = 1/h_сonvective + R_cover – общее тепловое сопротивление поверхности и покрытия.

    Если для голой земли обычно величина h ≈ 10 W/(m² · K), то при наличии глубокого снега или густой растительности она может уменьшиться до h ≈ 1 W/(m² · K). 

    Тот же тепловой поток, что в формуле (8), но вычисленный со стороны грунта, определяется законом Фурье

                                  q = – k ∂T /∂z | _z=0.                                                      (9)

    Из (8) и (9) непосредственно следует искомое граничное условие на поверхности грунта

                                       h (T_air – T_{ground surface}) + k ∂T /∂z | _z=0 = 0.                          (10)

    Поскольку коэффициенты условия (10) зависят, в частности, от неизвестной температуры грунта, это условие также нелинейно. Ввиду нелинейности уравнения (2) и граничного условия (10) представление (1) температуры воздуха в виде суммы гармоник ещё не означает, что решение полной задачи может быть представлено в виде соответствующей суммы.

 

     Влияние тепла, поступающего из недр Земли

    Под действием тепла, поступающего из разогретых недр Земли, температура грунта постепенно увеличивается с глубиной. Скорость этого возрастания G, зависящая от толщины литосферы в данном месте и от теплопроводности слагающих литосферу пород, называется геотермическим градиентом. Наиболее часто встречаются значения G = 0.02-0.05 °С/м. Если величина геотермического градиента известна, то при глубинах, значительно больших длины сваи, можно принять в качестве граничного условия 

                                                ∂T /∂z  ≈ G .                                                            (11)

 

    Начальное условие по времени или его эквивалент.

    Классическая постановка задачи для уравнения теплопроводности типа (2) требует задания распределения неизвестной температуры грунта по глубине для некоторого момента времени t = t₀, принимаемого за начало отсчёта времени:    

                T (z, t₀) = T_init (z) for 0 < z < ∞.                                                  (12)

    На самом деле, однако, распределение температуры по глубине известно только в тех редких случаях, когда в какой-то момент времени были произведены специальные измерения. Поэтому обычно приходится использовать в качестве функции T_init (z) более или менее произвольное приближённое распределение, рассчитывая на то, что в дальнейшем влияние ошибок в начальном условии будет постепенно убывать.  

    Если бы температура воздуха Т_air (t) была периодической функцией времени с некоторым периодом τ, искомая  функция T (z, t) также была бы периодической. В этом случае можно было бы заменить начальное условие (12) условием периодичности

                 T (z, t) = T (z, t + τ).                                                                  (13)

    Однако, как мы уже отмечали, температура воздуха, определяемая как сумма гармоник с несоизмеримыми периодами, сама периодичностью не обладает.

 

                             Температура грунта: аналитическое решение

    Если известны значения всех параметров, входящих в уравнения (2), (3), граничные условия (10) и (11), а также начальное распределение температуры T_init (z), то сформулированная задача может быть решена с помощью какого-либо из хорошо известных численных методов. Ценность получаемых при этом результатов, однако, существенно снижается тем, что в реальности начальное условие может быть задано только очень приближённо и в дальнейшем оказывается трудно отделить влияние погрешности исходных данных от погрешности численного метода. Всё это делает практически неразрешимой и без того достаточно сложную задачу выявления основных закономерностей в поведении температуры грунта по результатам численного расчёта. Поэтому желательно провести такое упрощение задачи, которое позволило бы получить её аналитическое решение в общем виде.   

    Аппроксимируем изменяющиеся во времени и по глубине теплофизические параметры k, С и h их ориентировочными осреднёнными, т.е. постоянными значениями. Это упрощение сразу превращает нелинейную задачу в линейную и, значит, даёт возможность получить её аналитическое решение в виде разложения по гармоникам, соответствующего разложению (1) для температуры воздуха:

              Т(z, t) = Т_тean + G z + Σ β_i γ_i(z) Т*_i sin[2π(t– α_i –z/v_i – r_i)/τ_i],                     (14)

                                                               i

где

β_i = B_i /[2 + 2 В_i + В_i ²]^1/2  - коэффициент демпфирования, вызываемого тепловым сопротивлением покрытия грунта и несовершенством теплообмена на его поверхности;

γ_i(z) = exp(-z/s_i) – коэффициент демпфирования, вызываемого тепловым сопротивлением и тепловой инерцией в объёме грунта;

В_i = h s_i / k  = s_i / kR – число Био, представляющее собой отношение тепловых сопротивлений внутри и на поверхности тела; 

s_i = [D τ_i /π]^1/2 – величина, пропорциональная глубине проникновения термических колебаний с периодом τ_i;

D = k/C – температуропроводность грунта;

v_i = 2[π D /τ_i]^1/2 – скорость проникновения термических колебаний с периодом τ_i;

α_i = τ_i /2π arctangent [1 / (1 + В_i)] – временная задержка термических колебаний, вызванная тепловым сопротивлением покрытия и на его поверхности.   

    Как можно убедиться с помощью непосредственной подстановки, определяемое равенством (14) представление решения в виде суммы постоянной величины Т_тean + G z и периодических функций с периодами τ_i удовлеворяет уравнению (2) и граничным условиям  (10), (11). При этом каждое из переменных слагаемых удовлетворяет своему условию периодичности типа (13), т.е. не предусматривает задания какого-либо начального условия. 

    Глубина проникновения колебаний

    Примем в качестве меры практического затухания колебаний уменьшение амплитуды в 20 раз. Тогда, даже без учёта затухания на поверхности грунта, глубина

                        р_i = 3s_i = 3[D τ_i /π]^1/2,                                                                          (15)

на которой коэффициент затухания i-й гармоники

                          γ_i(р_i) = exp(-р_i/s_i) = е^-3 ≈ 1/20,

может быть принята в качестве глубины проникновения этой гармоники в грунт.

    Как видно из (15), глубина проникновения р_i пропорциональна корню квадратному из периода колебаний τ_i. Это означает, что колебания с периодом 1 год проникают на глубину в 19 раз большую, чем с периодом 24 часа, в 7 раз большую, чем с периодом 1 неделя и в 3.5 раз большую, чем с периодом 1 месяц. Следовательно, на глубинах больше 1/3 глубины проникновения главной гармоники наиболее существенные гармоники с периодом τ_i < 1 year уже полностью затухли. Учитывая же, что амплитуды гармоник с периодом τ_i > 1 год были изначально в 20-30 раз меньше амплитуды главной гармоники, в дальнейшем для таких глубин мы будем учитывать только главную гармонику, а индекс i, определяющий номер гармоники, будем опускать, т.е. вместо (14) использовать формулу

  Т(z, t) = Т_тean + G z + β exp(-z/s) Т* sin[2π(t – t_d – r)/τ],                                    (16)

где  

t_d = α + z/v – временная задержка,

τ = 1 год = 3.1536 Х 10⁷ с.

     Зона постоянной температуры

    Как видно из Таблицы 2, для основных видов грунтов глубина проникновения главной гармоники р = 2.5-6 м. На глубине больше р можно пренебречь и главной гармоникой, т.е. считать температуру постоянной и равной

                                                 Т(z, t) ≈ Т_тean + G z,   (z > p).                                (17)

    Благодаря наличию геотермического градиента температура грунта постепенно повышется с ростом глубины. Глубина d₀ = | Т_тean| / G, на которой температура обращается в нуль, определяет нижнюю границу вечной мерзлоты. 

    Глубина сезонного оттаивания

    Как уже упоминалось ранее, наиболее важным параметром вечной мерзлоты является глубина сезонного оттаивания d, т.е. такое значение координаты z, при котором амплитуда колебаний температуры грунта снижается настолько, что достигаемый максимум температуры становится ниже нуля. Иначе говоря, при z = d коэффициент при синусе в формуле (16) должен стать равным | Т_тean |:

                                β exp(-d /s) Т* = | Т_тean |,

что возможно при | Т_тean | / Т* ≤ β (в противном случае d = 0). Следовательно,              

                           d = γ s     при γ > 0,                                                                (18)

                           d = 0       при γ ≤ 0,

где

γ = ln βТ* / | Т_тean | = γ_climate + γ_cover,    

γ_climate = ln Т* / | Т_тean | зависит только от климатических данных,

γ_cover = ln β определяется главным образом свойствами покрытия грунта,

а s определяется температуропроводностью грунта.

 

Оценка глубины сезонного оттаивания

    Для любого конкретного пункта по имеющимся метеорологическим данным можно легко определить величину  γ_climate. Если в наиболее холодных районах Т* = 20-22 °C, Т_тean = -14 – -15 °C и γ_climate ≈ 0.5, то при приближении к южной границе вечной мерзлоты Т* ≈ 16-17 °C, Т_тean → 0 °C, γ_climate → ∞, т.е. глубина сезонного оттаивания неограниченно возрастает или, иначе говоря, исчезает вечная мерзлота.

    Напротив, величину γ_cover, зависящую от свойств снегового или растительного покрытия, оценить  значительно труднее. Входящий в её определение коэффициент теплопередачи через покрытие h может существенно меняться во времени и его значения как мгновенные, так и усреднённые, плохо предсказуемы. То же самое относится, естественно, и к выражающемуся через h  коэффициенту затухания тепловой волны β на поверхности грунта. Как показывают ориентировочные оценки, величина γ_cover ≈ -0.1 для голой земли и снижается до γ_cover ≤ -1 при наличии значительного снежного/растительного покрова. Другими словами, устранение растительности существенно увеличивает глубину сезонного оттаивания, что неоднократно подтверждалось реальными наблюдениями.

     При оценке величины s мы должны использовать значение температуропроводности грунта, усреднённое по времени, т.е. по тому интервалу изменения температуры, который проходится в течение годичного цикла. Этот интервал имеет фиксированную середину, равную Т_тean, а расстояние края от середины имеет наибольшую величину βТ* у поверхности грунта и уменьшается до | Т_тean | на уровне глубины сезонного оттаивания. Ориентировочное представление о получаемых значениях можно получить на следующем примере.

     Рассмотрим случай Т_тean = -5 °C, Т* = 15 °C и примем β ≈ 1. При этом температура грунта вблизи поверхности меняется в интервале от -20 °C до 10 °C. Учитывая также, что τ = 3.1536 Х 10⁷ s, τ / π  ≈ 10⁷ s, получаем вычисленные по данным Таблицы 1 и сведенные в Таблице 2 оценки параметров s, p, and v для основных типов грунта и воды.

 

Таблица 2.

Параметры вечной мерзлоты для осреднённых условий вблизи поверхности грунта 

___________________________________________________________________________________________

                       Объёмная теплоёмкость |  Teплопроводность   |Teмпературопроводность|   s    |  p |     v    |     

                               МДж/( м³·K)                         Вт/(м·K)                             м²/с                       м      м   м/год   ____________________________________________________________________________________________

Мокрый песок                     4.4                                      2                                   3.6 ·10^-7                        1.9    5.7   12

Мокрый суглинок             6                                                   1.5                                             2 ·10^-7                            1.4    4.2    9

Мокрый торф                       9.3                                               0.9                                 0.7 ·10^-7                   0.84  2.5    5

Вода/Лёд                        14                                     1.7                                 1.3 ·10^-7                   1.1     3.3   7

 

    При увеличении глубины интервал изменения температуры постепенно сужается, а усреднённые по этому интервалу величина температуропроводности и параметр s уменьшаются. На глубине, вплотную приближающейся к глубине сезонного оттаивания d, для тех же климатических данных температура грунта меняется от -10 °C до ничтожно малой положительной величины. Усреднённые по этому температурному интервалу свойства грунта приведены в Таблице 3. 

 

Таблица 3. Параметры вечной мерзлоты для условий над уровнем сезонного оттаивания 

____________________________________________________________________________

                     Объёмная теплоёмкость | Teплопроводность | Teмпературопроводность|   s   |   

                             МДж/( м³·K)                       Вт/(м·K)                           м²/с                         м                

___________________________________________________________________________

Мокрый песок                     8.8                                 2.1                             2.4 ·10^-7                     1.5       

Мокрый суглинок          12.7                                          1.6                                       1.3 ·10^-7                            1.1       

Мокрый торф                     23.1                                          1                                0.4 ·10^-7                    0.6       

Вода/Лёд                     35.1                                2.3                              0.66 ·10^-7                   0.8

 

    Таким образом, приведенные в Таблице 2 значения параметра s дают оценку сверху для истинного усреднённого значения, а их использование в формуле (18) – оценку сверху («с запасом») для глубины сезонного оттаивания. Кроме того, эти значения дают ещё дополнительный запас, связанный с самим процессом усреднения. В самом деле, как видно из Таблицы 2, для всех типов грунта как теплопроводность, так и температуропроводность мёрзлого грунта больше, чем для талого. Это означает, что при использовании осреднённых по годичному циклу значений этих величин мы завышаем количество тепла, полученного в летний период и занижаем количество холода, полученного зимой. Этот связанный с усреднением запас оказывается наибольшим для воды-льда, где различие между замёрзшим и талым состоянием особенно велико.

    Определить точное значение глубины сезонного оттаивания с помощью численного решения задачи (2), (3), (10), (12) обычно невозможно из-за отсутствия данных о термическом сопротивлении на поверхности грунта. Поэтому на практике достоверные величины могут дать только полевые измерения. Если такие измерения проведены, так что известны глубина сезонного оттаивания d и величина времени запаздывания термической  волны на этой глубине t_dd = α + d /v, то, поскольку на глубине z > d свойства грунта уже не меняются, полученное ранее аналитическое решение (16) для этих глубин является точным и его можно представить в виде    

  Т(z, t) = |Т_тean| {exp[(d – z)/s)] sin[2π(t + d/v – z/v – t_dd –r)/τ)] – 1},                                    (19)

где параметры s и v определяются по свойствам мёрзлого грунта.

 

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления:  16.06.08

Главная страница