Относительный
градиент
В этом
файле при записи векторных операций будет использоваться тензорная нотация.
Определение
Пусть F(x) – функция точки, дифференцируемая в точке х0, причём
F(x0) ≠ 0.
(1)
Определим вектор (#F)i относительного градиента функции
F(x) в точке х0 по формуле
(#F)i│x =x0 = F, i (x0) / F (x0). (2)
Если
F(x0) > 0.
то относительный градиент
функции совпадает с градиентом логарифма этой функции:
(#F)i = (ln F), i. (3)
Вклад функций-сомножителей в градиент произведения
Если функция F представляет собой произведение N функций Fk, для каждой из которых в точке х0 выполнено условие (1), то в этой точке, как нетрудно
убедиться, относительный градиент F равен сумме относительных градиентов сомножителей Fk
N
(#F)i = Σ (#Fk) i,
(4)
k = 1
а обычный градиент функции
F
представляется в виде
N
F, i = F Σ (#Fk) i.
(5)
k = 1
·
Относительный вклад сомножителей в
градиент произведения определяется их относительными градиентами.
·
Сомножители, модуль относительного
градиента которых значительно меньше, чем у других, могут быть приближённо
вынесены из под знака производной.
Градиент произведения вблизи корня одного из сомножителей
Рассмотрим градиент произведения двух
функций F1(x) и F2(x):
(F1 F2),
i = (F1), i
F2 + F1 (F2),
i.
Если
F1(x0) = 0,
то
(F1
F2), i│x =x0
= F2(x0) (F1),
i│x =x0.
При
x → x0 относительный
градиент (#F1) i → ∞ и, следовательно, в
окрестности точки x0
(F1 F2), i ≈ F2 (F1), i.
Вклад компонент вектора скорости течения в градиент произведения
Поскольку компоненты vi(х) вектора скорости течения, в отличие
от плотности ρ и температуры Т,
могут обращаться в нуль и менять знак, при не очень низких плотностях и
температурах в градиенте функции, представляющей собой произведение ρТ п vi(х), где п – показатель степени порядка единицы, функция ρТ п может быть приближённо
вынесена из под знака градиента.
Дата последнего обновления: 19.08.09