Относительный градиент

      В этом файле при записи векторных операций будет использоваться тензорная нотация.

   Определение

    Пусть F(x) – функция точки, дифференцируемая в точке х0, причём

       F(x0) ≠ 0.                                                                                      (1)

    Определим вектор (#F)i относительного градиента функции F(x) в точке х0 по формуле

       (#F)ix =x0 = F, i (x0) / F (x0).                                                        (2)

    Если 

       F(x0) > 0.

то относительный градиент функции совпадает с градиентом логарифма этой функции:

       (#F)i = (ln F), i.                                                                              (3)

    Вклад функций-сомножителей в градиент произведения

    Если функция F представляет собой произведение N функций Fk, для каждой из которых в точке х0 выполнено условие (1), то в этой точке, как нетрудно убедиться, относительный градиент F равен сумме относительных градиентов сомножителей Fk

                    N

       (#F)i = Σ (#Fk) i,                                                                           (4)

                        k = 1

а обычный градиент функции F представляется в виде 

                    N

       F, i = F Σ (#Fk) i.                                                                          (5)

                         k = 1

·        Относительный вклад сомножителей в градиент произведения определяется их относительными градиентами.

·        Сомножители, модуль относительного градиента которых значительно меньше, чем у других, могут быть приближённо вынесены из под знака производной.

   Градиент произведения вблизи корня одного из сомножителей

    Рассмотрим градиент произведения двух функций F1(x) и F2(x):

       (F1 F2), i = (F1), i F2 + F1 (F2), i.

    Если

       F1(x0) = 0,

то

      (F1 F2), ix =x0 = F2(x0) (F1), ix =x0.

     При x x0 относительный градиент (#F1) i → ∞ и, следовательно, в окрестности точки x0

      (F1 F2), i F2 (F1), i.

   Вклад компонент вектора скорости течения в градиент произведения

    Поскольку компоненты vi(х) вектора скорости течения, в отличие от плотности ρ и температуры Т, могут обращаться в нуль и менять знак, при не очень низких плотностях и температурах в градиенте функции, представляющей собой произведение ρТ п vi(х), где п – показатель степени порядка единицы, функция ρТ п может быть приближённо вынесена из под знака градиента.

 

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления:  19.08.09

Главная страница

Физика и физические мифы

 

Hosted by uCoz