П. Плотник

Тензорная нотация

     Рассматривается трёхмерное евклидово пространство с декартовой системой координат (x₁, x₂, x₃). Латинские символы с одним нижним буквенным индексом (например, и_i или а_j) означают компоненты в этой системе координат тензора первого ранга (вектора), а символы с двумя буквенными индексами (например, е_{i j}) – компоненты тензора второго ранга.   

     Если в каком-либо выражении типа одночлена данная буква в индексе, как в ранее приведенных примерах буквы i и j, используется только один раз, то такой индекс называется свободным и предполагается, что он принимает все три возможные значения (1, 2, 3). Иначе говоря, символы и_i или а_j означают не одну конкретную компоненту, а всю совокупность компонент данного вектора, а символ е_{i j} – всю совокупность компонент тензора второго ранга.

     Если какой-либо индекс встречается в рассматриваемом выражении два раза, то такой индекс называется немым и соответствующее выражение предполагает суммирование по значениям этого индекса от 1 до 3. Например, выражение е_{k k} с немым индексом k равнозначно сумме

                    3 

              ∑ е_{k k} ,

                 k = 1

а выражение а_{i j} с_{i j}  с двумя немыми индесами i и j  – двойной сумме

               3       3

          ∑   ∑ а_{i j} с_{i j.}

            i =1   j = 1

     Наличие запятой в индексе означает частную производную по пространственной координате с номером, соответствующем индексу, расположенному после запятой. Так, например, равнозначны следующие пары выражений:

        а_{, j} ≡ ∂а/∂х_j (вектор градиента функции а);

        b_{i, j} ≡ ∂b_i /∂х_j,

а выражение v_{i, i}  представляет дивергенцию вектора v_i. 

Дата последнего обновления:  22.05.10

Главная страница

 

Кое-что из реальной физики

 

Элементы физики газов