П. Плотник

Спектр колебаний одномерной цепочки

   Определение матрицы А

    Векторная форма системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих продольные колебания одномерной цепочки из N частиц, содержит квадратную трёхдиагональную симметричную матрицу А порядка N, отличные от нуля элементы которой имеют вид:

  а_{0, 0} = 1, а_{0, 1} = – 1;

  а_{п, п – 1}  = – 1, а_{п, п}  = 2, а_{п, п +1}  = – 1     (п = 1, ..., N – 2);

  а_{N– 1, N – 2}  = – 1, а_{N– 1, N– 1}  = 1.

    Матрица А представляется в виде произведения

                      А = В* В,                                                                          (1)

где В – матрица, у которой отличны от нуля только следующие элементы:

  b _{п, п}  = 1, b _{п, п + 1}  = – 1     (п = 0, 1, ..., N – 2),

а В* – матрица, транспонированная по отношению к В.

   Из представления (1) следует, что матрица А неотрицательно определённая.

   Формулировка спектральной задачи

    Нашей задачей является определение всех N собственных значений λ и собственных векторов х матрицы А. Иначе говоря, нужно найти числа λ и вектора х = {x₀, …, x_n, …, x_{N– 1}} в евклидовом N-мерном пространстве Е_N с отличной от нуля нормой

                                              N– 1                    

                          |x| = (Σ x_n²) ^½, 

                                             n = 0

для которых выполняется однородное векторное уравнение 

                         Ах = λ х.                                                                      (2)

    В проекциях на координатные оси уравнение (2) для рассматриваемой матрицы А имеет вид системы из N линейных однородных уравнений:

 (1 – λ) x₀  – x₁ = 0,                                                                               (3)

  – х_{п – 1} + (2 – λ) x_п  – х_{п +1}  =  0     (п = 1, ..., N – 1),                           (4)                 

  – х_{N – 2}  + (1 – λ) x_{N– 1}  = 0.                                                                  (5)

    Согласно известной теореме линейной алгебры ввиду симметричности матрицы А все её собственные значения λ – вещественные числа, а из N нормированных собственных векторов е^{(k )} (k = 0, 1, ..., N– 1) можно образовать ортонормированный базис в пространстве Е_N .

   Ограничения на возможную величину собственных значений матрицы А

    Из неотрицательной определённости матрицы А следует, что все её собственные значения удовлетворяют условию:

            λ ≥ 0.                                                                                          (6)

    Норма ║А║матрицы А оценивается сверху максимумом по строкам суммы модулей элементов каждой строки. У матрицы А для строк от п = 1 до п = N – 2 сумма модулей элементов строки равна 4. Поэтому собственные числа этой матрицы удовлетворяют условию:

         λ ≤ ║А║ ≤ 4

и, следовательно, с учётом (6),

           0 ≤ λ ≤ 4.                                                                                     (7)

   Определение спектра разностного оператора

    Рассмотрим функцию х(п) целочисленного аргумента п, определённую для значений п = 0, 1, ..., N – 1 с помощью равенств

                   х(п) = x_п.

    Заменяя неизвестные величины в системе линейных алгебраических уравнений (3)-(5) значениями этой функции, мы превращаем подсистему (4) в одно разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами 

                  – х(п – 1) + (2 – λ) x(п) – х(п +1)  =  0,                               (8)   

а уравнения (3) и (5) – в краевые условия для этого уравнения

     (1 – λ) x(0)  – x(1) = 0,                                                                     (9)

  – х(N – 2)  + (1 – λ) x(N– 1)  = 0.                                                        (10)

. Как показано в [1], общее решение разностного уравнения (8) выражается через корни у₁ и у₂ характеристического уравнения

          у² – (2 – λ) у  + 1 =  0.                                                                  (11)  

     Очевидно,

          у₁ = р + (р² – 1)^½,   у₂ = р –  (р² – 1)^½,

где

                 р = 1 – λ/2. 

   Из неравенств (7) следует, что

           – 1 ≤ р ≤ 1.                                                           

   Таким образом, для дискриминанта D = р² – 1 характеристического уравнения имеются две возможности:

1. D < 0,

т.е.

                       – 1 <  р < 1,

что соответствует

      0 < λ < 4.                                                                                          (12)

   Уравнение (8) имеет в этом случае взаимно сопряжённые комплексные корни с модулем, равным единице, представляющиеся в виде:

          у₁ = е^iφ,   у₂ = е^–iφ,

где

                φ = arccos р,

а параметр λ выражается через φ соотношением

                  λ = 4 sin² φ/2.                                                                      (13)

  Общее решение разностного уравнения (8) выражается при этом формулой:

    x_п  = С₁ cos nφ + С₂ sin пφ,                                                              (14)                                

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, определяемые из краевых условий (9) и (10).   

  Подстановка выражения (14) в краевые условия с учётом (13) даёт после ряда преобразований следующие уравнения относительно С₁ и С₂:

    sin φ/2 С₁ + cos φ/2 С₂ = 0,                                                              (15)

    sin (N – ½) φ С₁ – cos (N – ½)φ С₂ = 0.                                          (16)

  Условием существования нетривиального решения системы уравнений (15), (16) является равенство нулю её определителя:

   – sin φ/2 cos (N – ½)φ – cos φ/2 sin (N – ½)φ = – sin Nφ = 0.          (17)

  Соотношение (17) выполняется, когда параметр φ принимает значения

    φ_k = kπ/N    k = 0, 1, …, N –1,

что с учётом (10) соответствует значениям параметра λ

    λ_k = 4 sin² kπ/2N    k = 0, 1, …, N –1.                                           (18)

  Мы можем утверждать, что формула (18) определяет собственные значения λ_k только для k > 0, так как λ₀ = 0 не удовлетворяет условию (12).

  Для определения собственных векторов х_k , соответствующих собственным числам λ_k  при k ≥ 1, положим в (15) φ = φ_k . Значения С₁ и С₂ определяются при этом с точностью до произвольного постоянного множителя С и имеют вид:

                    С₁ = С cos φ_k /2,   С₂ = – С sin φ_k /2.

   Таким образом, соответствующая вектору х_k функция целочисленного аргумента x_k (п) представляется формулой 

        x_k (п) = С (cos φ_k /2 cos nφ_k  – sin φ_k /2 sin пφ_k ) = С cos (п + ½)φ_k  = С cos (п + ½) kπ /N.

    Для получения нормированного собственного вектора е_k  нужно положить

        С = (2/N) ^½

и, следовательно, представление вектора е_k  (k = 1, 2, ..., N –1) в виде функции целочисленного аргумента е_k (п) определяется выражением:

        е_k (п) = (2/N) ^½ соs (n + ½) kπ /N   (п = 0, 1, ..., N –1).         (19)

2. D = 0,

                     р² = 1,

что имеет место при λ = 0 и λ = 4.

   В обоих случаях уравнение (11) имеет один кратный корень

                   у = р,

а общее решение разностного уравнения (8) имеет вид:

             x(п)  = С₁ р^п + С₂ п р^п.         

    Рассмотрим сначала случай λ = 0. При этом р = 1 и, следовательно,

             x(п)  = С₁ + С₂ п.                                                                       (20)

    Подстановка выражения (20) в краевые условия (9) и (10) приводит к двум одинаковым уравнениям

             С₂ = 0.                    

    Из этого факта следуют два вывода:

• определитель полученной системы уравнений относительно неизвестных С₁ и С₂ равен нулю и, следовательно, λ₀ = 0 является собственным значением;
• представляющая собственный вектор х₀ функция х₀(п) принимает одно и то же значение С₁ для всех п из области определения.  

    Выбирая константу С₁ из условия нормировки, мы получаем выражение для функции е₀(п), представляющей нормированный собственный вектор е₀:

               е₀(п) = N ^{– ½}    (п = 0, 1, ..., N –1).                                        (21)

    Таким образом, равенство (18) определяет все N собственных значений матрицы А, а формулы (19) и (21) – функции целочисленного аргумента п, представляющие соответствующие N нормированных собственных векторов.

    Оставшийся случай λ = 4 можно не рассматривать, т.к. он заведомо не даст нового собственного значения.

 

Литература

1. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1989.- 616 с.

 

Дата последнего обновления:  13.04.10

Главная страница