П. Плотник

Линейные продольные колебания в одномерной цепочке

  Определение одномерной цепочки

    Термин одномерная цепочка означает в дальнейшем совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц P₀, P₁, ... P_n, ..., P_N–1, имеющих одну и ту же массу m. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки, а также параллельных направлению цепочки внешних сил.  

    Наиболее важным приложением предлагаемой модели является исследование передачи энергетических импульсов в полимерных молекулах, являющихся частью различных биологических структур. Одномерные цепочки естественно выделяются также в кристаллических решётках, относящихся к моноклинной (monoclinic crystal system), орторомбической (orthorhombic crystal system), тетрагональной (tetragonal crystal system) и кубической сингониям (cubic crystal system). В частности, для простых решёток сингоний с взаимноортогональными векторами трансляции (орторомбической, тетрагональной и кубической) каждый узел принадлежит одновременно трём взаимно перпендикулярным цепочкам и, следовательно, участвует в трёх взаимнонезависимых продольных колебаниях по каждой из осей. В таких решётках, как объёмно-центрированная кубическая (ОЦК) решётке каждый узел принадлежит четырём неперпендикулярным цепочкам и участвует в четырёх взаимосвязанных продольных колебаниях, а в гранецентрированной кубической решётке (ГЦК) – шести неперпендикулярным цепочкам и шести взаимосвязанных колебаниях. Взаимосвязанность продольных колебаний для цепочек разных направлений в ОЦК и ГЦК приводит к тому, что каждое продольное колебание является одновременно и поперечным.

    Движение частицы с номером п описывается зависимостью от времени t её смещения u_n относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером п). Смещение считается положительным, если оно направлено «вправо», т.е. в сторону увеличения п.

    Колебания образующих цепочку частиц считаются малыми, т.е. каждое из смещений u_n по модулю значительно меньше расстояния d между соседними узлами:

                                            | u_n | << d.

    Предполагается, что сила взаимодействия соседних частиц имеет квазиупругий характер с коэффициентом жесткости α (жёсткость связи). Другими словами, если обозначить через f_{i, j}  силу, с которой частица P_i действует на частицу P_j, то сила взаимодействия соседних частиц P_n+1 и P_n определяется формулой:

                      f _{n+1, n} = – f _{n,  n+1} = α (u_n+1 – u_n).                                                                    (1)

    В качестве частиц могут рассматриваться отдельные атомы или группы атомов. В последнем случае предполагается, что жёсткость связи между атомами внутри группы значительно больше жёсткости связи между группами.

    Кроме сил взаимодействия с соседями по цепочке, на каждую частицу может действовать зависящая от времени внешняя сила F_п(t) со стороны объектов, не принадлежащих цепочке.

/*Все силы считаются положительными, если они направлены вправо*/

    В ПК решётках, где взаимодействие между отдельными цепочками отсутствует, внешние силы приложены только на концах цепочки, т.е. отличны от нуля только силы F₀ и F_N–1.

  Дифференциальные уравнения и начальные условия

    При сделанных предположениях функции u_n(t) для внутренних узлов цепочки (0 < n < N–1), удовлетворяют при t ≥ 0 системе дифференциальных уравнений:

    m d ²u_n /dt² = f _{n+1, n}  + f_{n–1, n} + F_п = α (u_n–1 – 2 u_n + u_n+1) + F_п.                                        (2)

/* Частный случай уравнений (2) с нулевыми внешними силами используется в фононной теории колебаний кристаллической решётки [1] для анализа прохождения гармонических волн.*/

    Для крайних узлов цепочки, т.е. для n = 0 и n = N–1, уравнения вида (2) не могут быть использованы, т.к. не определено одно из фигурирующих там перемещений. В этих узлах выполняются уравнения:

    m d ²u₀/dt ² = f_{1, 0} + F₀ = α (u₁ – u₀) + F₀,                                                                         (3)

    m d ²u_N–1 /dt ² = f_{N –2, N–1}  + F_N–1 = α (u _{N –2} – u _N–1) + F_N–1.                                               (4)                       

    При заданных внешних силах F_n(t) система дифференциальных уравнений второго порядка (2)-(4) относительно неизвестных функций u_n(t) имеет единственное решение, если в начальный момент времени t = 0 во всех узлах заданы значения смещений u_n и скоростей их изменения v_n = du_n /dt:

                 u_n(0) = u⁽⁰⁾_n,                                                                                                         (5)

                 v_n(0) = v⁽⁰⁾_n                                                                                                          (6)

при п = 0, 1, ..., N–1.   

    Заметим, что силы F_n(t), строго говоря, не являются заданными функциями, т.к. зависят, как правило, от величины u_n(t) смещения того узла, к которому они приложены. Поэтому нашей задачей будет не получение решения задачи (2)-(6) в обычном смысле слова, а нахождение аналитического выражения смещений u_n(t) через произвольные внешние силы F_n(t) и начальные значения u⁽⁰⁾_n и v⁽⁰⁾_n.     

    Формулировка задачи в матричной форме

   Систему дифференциальных уравнений (2)-(4) можно заменить одним векторным уравнением в евклидовом N–мерном пространстве Е_N.

     т d²u /dt² + α Аu = F,                                                                                                      (7)

где

u = u(t) = {u₀(t), u₁(t), …, u_n(t), …, u_N–1 (t)} – неизвестный N–вектор смещений, являющийся функцией времени t; 

F = F(t) = {F₀(t), F₁(t), …, F_n(t), …, F_N–1 (t)}– N–вектор внешних сил, являющийся функцией t;

А – квадратная трёхдиагональная симметричная матрица порядка N, отличные от нуля элементы которой имеют вид:

  а_{0, 0} = 1, а_{0, 1} = – 1;

  а_{п, п – 1}  =  – 1, а_{п, п}  = 2, а_{п, п +1}  = – 1     (п = 1, ..., N – 2);

  а_{N–1, N – 2}  = – 1, а_{N–1, N–1}  = 1.

    Матрица А представляется в виде

                      А = В* В,                                                                                                         (8)

где В – матрица парных взаимодействий, у которой отличны от нуля только следующие элементы:

  b _{п, п}  = 1, b _{п, п + 1}  = – 1,     (п = 0, 1, ..., N – 2).  

Через В* в соотношении (8) обозначена матрица, транспонированная по отношению к В.

  С введением N–вектора скоростей

v = v(t) = du/dt = {v₀(t), v₁(t), …, v_n(t), …, v_N–1 (t)},

  v_n(t) = du_n/dt

можно записать начальные условия (5), (6) в векторной форме:

    u(0) = u⁽⁰⁾,                                                                                                                          (9)

    v(0) = v⁽⁰⁾.                                                                                                                          (10)

    Баланс энергии цепочки

   Умножая обе части уравнения (7) скалярно на N–вектор v, после простых тождественных пребразований получаем уравнения баланса энергии для цепочки:

              dE /dt = (F ∙ v),                                                                                                        

где

 E = K + U – полная энергия цепочки,                                                                            

 K = ½ т (v ∙ v) – кинетическая энергия,                                                                            (11)

 U = ½ α (Bu ∙ Bu) = ½ α (Au ∙ u) – потенциальная энергия.                                              (12)

• Скорость изменения полной энергии Е цепочки равна мощности (F ∙ v), развиваемой внешними силами F, приложенными в узлах цепочки, на скоростях перемещения v этих узлов.
• Базовое предположение квантовой теории кристаллов о дискретном спектре возможных значений энергии кристаллической решётки физически некорректно, т.к. скачкообразное изменение энергии потребовало бы бесконечных значений силы или скорости, чего в природе не бывает.

·        Квантовая теория кристаллов в целом и, частности, предположение о существовании фононов (элементарных возбуждений колебательного движения) физически некорректны.

/* Единственной предпосылкой для распространения квантовой гипотезы Планка о дискретном характере электромагнитного излучения на динамику кристаллической решётки является безудержное желание авторов сделать это */ 

    Спектр матрицы системы

    Матрица А имеет N различных собственных чисел λ_k (k = 0, 1, …, N–1) и такое же количество соответствующих им собственных векторов е_k. Использование аппарата теории разностных схем (см., например, [2]) даёт возможность получить явные аналитические выражения для тех и других.

    Собственные числа определяются при этом по формуле

       λ_k = 4 sin² kπ /2N.

    Совокупность компонент каждого нормированного собственного N–вектора, рассматриваемая как функция е_k (п) целочисленного аргумента п – номера частицы в цепочке, будет называться в дальнейшем нормальной модой. Областью определения этих функций является множество чисел

                    I = {0, 1, ... , N–1}.

    Нулевая нормальная мода, отвечающая собственному значению λ₀ = 0, является константой:      

                 е₀(п) = N ^{– ½},                                                                                                         

а при k = 1, ..., N–1            

         е_k (п) = (2/N) ^½ соs [(n + ½) kπ/N].                                                                                  (13)

    Определение нормальных координат

  Использование спектрального разложения 

    Поскольку система N–векторов е_k образует ортонормированный базис в пространстве Е_N , каждый из N–векторов u(t), v(t) и F(t) можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов:

                    N–1                              N–1                              N–1

     u(t) = Σ q_k(t) е_k,  v(t) = Σ υ_k(t) е_k,  F(t) = Σ f_k(t) е_k ,                                                      (14)

                  k = 0                              k = 0                             k = 0

где

q_k (t) = (u(t) ∙ е_k) – нормальные координаты,

υ_k (t) = (v(t) ∙ е_k) – нормальные скорости,

f_k (t) = (F(t) ∙ е_k) – нормальные силы.

    В частности, при k = 0

                                N–1                                                              N–1                                    

     q₀(t) = N ^{– ½} Σ u_n(t) = N ^½ u^(t),  υ₀(t) = N ^–½ Σ v_n(t) = N ^½ v^(t),

                                п = 0                                                            п = 0                                  

                                                          N–1  

                         f₀(t) = N ^{– ½} Σ F_n(t) = N ^{– ½} F_Σ(t),                                                                   (15)

                                                          п = 0 

где

u^ –  среднее значение компонент N–вектора u, равное смещению центра масс цепочки,

v^  –  среднее значение компонент N–вектора v, равное скорости центра масс цепочки,

F_Σ  – суммарная внешняя сила, действующая на цепочку. 

  Формулировка задачи определения нормальных координат

    Подставляя выражения (14) в уравнение (7) и учитывая линейную независимость векторов е_k, получаем взаимно независимые линейные дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных нормальных координат q_k (t):

      d²q_k /dt ² + ω_k² q_k  = m^–1 f_k,             (k = 0, 1, ... N–1 )                                                       (16)

где собственные частоты ω_k определяются формулами

     ω_k = (αλ_k / т)^½ = 2ν* μ_k = 2πμ_k /τ*,                                                                                   (17)

     μ_k = sin kπ /2N – частотный параметр,                                                                                            

     ν* = (α /т)^½ – характерная частота,

     τ* = π(т/α)^½ = π / ν* – характерное время.

    Вблизи акустического края спектра (при k << N) как частотный параметр μ_k, так и частота ω_k приблизительно пропорциональны номеру k:   

    μ_k  ≈ kπ /2N, ω_k ≈ ν*kπ /N,                                                                                                                     (18)

а вблизи теплового края спектра (при k ≈ N) μ_k и ω_k слабо зависят от номера и близки к постоянном величинам:  

    μ_k  ≈ 1, ω_k ≈ 2ν*= 2π/τ*,                                                                                                                (19)

т.е. величину τ* можно определить как период собственных колебаний вблизи теплового края спектра.

    Из (14) и (9), (10) нетрудно получить также начальные условия для нормальных координат:

        q_k (0) = (u⁽⁰⁾ ∙ е_k) = q ⁽⁰⁾_k,                                                                                                (20)

        dq_k / dt | _{t =0} = (v⁽⁰⁾ ∙ е_k) = υ⁽⁰⁾_k.                                                                                        (21)

    Если функции f_k(t) заданы, то для записи решения уравнения (16), удовлетворяющего начальным условиям (20), (21), удобно использовать метод вариации произвольных постоянных (ВПП). Поскольку в нашем случае нормальные силы f_k(t), вообще говоря, зависят от неизвестных функций q_k(t), метод ВПП будет применяться не для получения решения, а для вывода аналитического выражения нормальных координат и нормальных скоростей через нормальные силы. При этом будут использованы обозначения

                       t

     r_k(t) =  ∫ f_k (t') cos ω_k t' dt',          

                      0

                      t

     s_k(t) =  ∫ f_k (t') sin ω_k t' dt'.    

                     0

  Нулевая нормальная координата

    Для k = 0 метод ВПП даёт выражения:

                                                                t

      q₀(t) = q ⁽⁰⁾₀ + υ⁽⁰⁾₀ t + m^–1 ∫ f₀(t') (t – t') dt',                                                                     

                                                               0

      υ₀(t) = υ⁽⁰⁾₀ + m^–1 r₀(t),                                                                                                      (22)

откуда, используя представление (15), имеем

                                                                              t

      u^(t) = u^(0) + v^(0)∙t + (N m)^–1 ∫ F_Σ (t') (t – t') dt',                                                         (23)

                                                                             0

                                                           t

      v^(t) = v^(0) + (N m)^–1 ∫ F_Σ (t') dt'.                                                                                   (24)

                                                         0

• Нулевая нормальная координата описывает движение центра масс частиц цепочки под действием суммарной внешней силы.

  Квазигармонические нормальные координаты

    Для нормальных координат и соответствующих нормальных скоростей с номерами k ≥ 1 с помощью метода ВПП получаем

      q_k(t) = g_k(t) соs ω_k t + h_k(t) sin ω_k t

                                   = H_k(t) sin[ω_k t + θ_k(t)],                                                                         (25)

      υ_k(t) = – g_k(t) ω_k sin ω_k t + h_k(t) ω_k соs ω_k t

                                               = ω_k H_k(t) соs[ω_k t + θ_k(t)],                                                       (26)

 где

     g_k(t) = q⁽⁰⁾_k – (mω_k)^–1 s_k(t),

     h_k(t) = (ω_k)^–1 υ⁽⁰⁾_k + (mω_k)^–1 r_k(t),      

     H_k(t) = [g_k(t)² + h_k(t)²] ^½, θ_k(t) = arcsin [g_k(t)/H_k(t)].  

• Нормальные координаты q_k (t) с номерами k ≥ 1 являются квазигармоническими функциями времени с квазиамплитудой H_k(t), фазовым сдвигом θ_k(t) и нормальной частотой ω_k.                      

/* Определяемая формулой (25) квазигармоническая фунция в отличие от настоящей гармонической функции имеет зависящие от времени квазиамплитуду H_k(t) и фазовый сдвиг θ_k(t), однако формула (26) для производной по времени от квазигармонической функции имеет такой же вид, какой имел бы место, если бы квазиамплитуда и фазовый сдвиг не зависели от времени*/  

/* В те промежутки времени, когда нормальная сила f_k (t) равна нулю, квазиамплитуда и фазовый сдвиг не изменяются и, следовательно, нормальная координата q_k(t) становится настоящей гармонической функцией времени */

    Нормальные волны и их представление в виде суммы бегущих волн

    Как и любой зависящий от времени N–вектор, N–вектор v(t) может рассматриваться как функция V(t, n)  двух переменных t и n, определённая на прямом произведении множества Т = {t: t ≥ 0}и ранее определённого множества I. Соотношение (14) позволяет представить функцию V(t, n) в виде суммы

                         N–1                            

     V(t, n) = Σ V_k (t, n),                                                                                                             (27)

                        k = 0                          

где

     V_k (t, n) = υ_k (t) е_k (п) – нормальные волны скорости..

    Используя (13) и (26), можно при k ≥ 1 представить нормальные волны скорости в форме:

      V_k (t, n) = (2/N) ^½ ω_k H_k(t) соs [ω_k t + θ_k(t)] соs [(n + ½) kπ /N]                                         

        = (2N)^{– ½} H_k(t) {соs [(n + ½ – γ_k t) kπ /N – θ_k(t)] + соs [(n + ½ + γ_k t) kπ /N + θ_k(t)]},     (28)

где

          γ_k = Nω_k /kπ = 2N ν* μ_k /kπ = 2 N μ_k /kτ*.                                                                                   

    Выражение (28) даёт представление нормальной волны скорости в виде суммы квазигармонических волн, бегущих вправо (первое слагаемое в фигурных скобках) и влево (второе слагаемое). Величина γ_k в (28) представляет собой узловую скорость, т.е. количество узлов цепочки, проходимых фронтом волны за единицу времени.

/*  Скорость с_k распространения волны в обычном смысле слова связана с узловой скоростью γ_k соотношением

         с_k = γ_k d.                                                     */

    Как можно легко убедиться, γ_k убывает с ростом номера k, причём вблизи акустического края спектра (при k << N)

          γ_k ≈ ν* = π/τ*,                                                                                                                (29)

а вблизи теплового края, т.е. при k/N ≈ 1,

          γ_k ≈ 2ν*/π = 2/τ*.                                                                                                                           

    Выражение энергии цепочки через энергии нормальных волн

    Подстановка (14) в выражения (11), (12) даёт представление полной, кинетической  и потенциальной энергии цепочки через соответствующие энергии нормальных волн:

                    N–1                           N–1                             N–1

     E(t) = Σ E_k (t),  K(t) = Σ K_k (t),  U(t) = Σ U_k (t),                                                               (30)

                  k = 0                            k = 0                           k = 0

где

         K_k (t) = ½ т [υ_k (t)]²,                                                                                                        (31)

         U_k (t) = ½ α λ_k [q_k (t)]²,                                                                                                     (32)

         E_k (t) = K_k (t) + U_k (t).                                                                                                      (33)

    Как следует из (17) и (31)-(33), для нулевой нормальной волны

         U₀(t) = 0,

         E₀(t) = K₀(t) = ½ т [υ₀(t)]².                                                                                              

    Для нормальных волн с номерами k ≥ 1 с учётом (17), (25) и (26) получаем:

         K_k (t) = ½ т ω_k² H_k(t)² соs² [ω_k t + θ_k(t)],                                                                         

         U_k (t) = ½ α λ_k H_k(t)² sin² [ω_k t + θ_k(t)] = ½ т ω_k² H_k(t)² sin ² [ω_k t + θ_k(t)],                      

         E_k (t) = K_k (t) + U_k (t) = ½ т ω_k² H_k(t)².                                                                            

• Полная, кинетическая и потенциальная энергия цепочки в целом представляются в виде суммы соответственно полных, кинетических и потенциальных энергий нормальных волн.   
• Полная энергия нулевой нормальной волны сводится к кинетической энергии движения центра масс цепочки.
• Полная энергия каждой из квазигармонических нормальных волн пропорциональна квадрату соответствующей собственной частоты и квадрату амплитуды нормальной координаты.

    Изменение энергии нормальных волн

    Умножив обе части дифференциального уравнения (16) на массу частицы т и нормальную скорость υ_k(t), после ряда несложных преобразований получаем выражение для скорости изменения энергии отдельной нормальной волны:

              dE_k /dt = f_k (t) υ_k (t).                                                                                                     (34)

    Из (34) и (22), (26) следует, что изменение энергии E_k на интервале времени (0, t ) определяется выражениями:

                                        t

      E₀(t) – E₀(0) = ∫ f₀ (t') υ₀(t') dt' = υ⁽⁰⁾₀ r₀(t) + ½ m^–1r₀(t)²,                                                    (35)           

                                        0

                                        t

      E_k(t) – E_k(0) = ∫ f_k (t') υ_k (t') dt'

                                       0

                 = υ⁽⁰⁾_k r_k(t) – ω_k q⁽⁰⁾_k s_k(t) + ½ m^–1[r_k(t)² + s_k(t)²]      (k = 1, 2, ..., N –1).                   (36)                 

• Изменение энергии каждой нормальной волны происходит под действием соответствующей нормальной силы независимо от других волн.   
• Если начальное значение энергии нормальной волны E_k(0) ≠ 0, то в зависимости от знака q⁽⁰⁾_k и υ⁽⁰⁾_k нормальная сила может как увеличивать, так и уменьшать энергию нормальной волны.
• Если E_k(0) = 0, то под действием нормальной силы энергия нормальной волны может только увеличиваться.

    Влияние места приложения внешней силы на величину нормальных сил 

    Вклад f_k ^(n')(t) внешней силы F_n'(t), приложенной к частице с номером n', в нормальную силу с номером k определяется формулами:

 f₀ ^(n')(t) = N ^{– ½} F_n'(t),

 f_k ^(n')(t) = β(n', k)F _n'(t), (k > 0)                                                                                              

где β(n', k) = (2/N) ^½ соs [(n' + ½) kπ /N] – коэффициент вклада силы, приложенной к частице с номером n', в нормальную силу с номером k.

    Как нетрудно заметить, при k > 0

β(N – 1 – n', k) = (–1)^k β(n', k),   

т.е. коэффициенты вкладов сил, приложенных к частицам, которые находятся на одинаковом расстоянии от концов цепочки, одинаковы по абсолютной величине.

    В частности, для внешней силы, приложенной к крайним частицам, модуль коэффициента вклада в нормальную силу определяется при k > 0 равенством:

| β(N – 1, k)| = β(0, k) = (2/N) ^½ соs (kπ /2N).                                                                            (37)

    Нормальные волны скорости, порождаемые краевой внешней силой 

    Во всём дальнейшем изложении мы будем считать отличными от нуля только краевые внешние силы и, поскольку их вклад симметричен, рассматривать только силу F₀(t), приложенную к левому крайнему узлу. 

    Ввиду линейности задачи, волна, вызываемая силовым воздействием, не зависит от состояния цепочки до начала действия силы. Поэтому для упрощения выкладок будем считать, что в начальный момент времени все смещения и скорости равны нулю, т.е. для всех k

     q⁽⁰⁾_k  = υ⁽⁰⁾_k = 0.                                                                                                                     (Н-1)

    При сделанных предположениях нормальные волны скорости V_k (t, n) могут быть с учётом (22), (26) и (37) представлены в виде:

V₀(t, n) = (Nm)^–1 a₀(t),                                                                                                              (Н-2)

V_k (t, n) = 2(Nm)^–1 соs (kπ /2N) [a_k(t) соs 2πμ_k t/τ* + b_k(t) sin 2πμ_k t/τ*] соs [(n + ½) kπ /N]  (k ≥ 1),    (Н-3)

где

                        t                                                                             

     a_k(t) =  ∫ F₀(t') cos 2πμ_k t'/τ* dt',                                                                       

                      0                                                                            

                      t                                                                          

     b_k(t) = ∫ F₀ (t') sin 2πμ_k t'/τ* dt'.  

                     0

   Из начальных условий (Н-1) следует, что в начальный момент времени равно нулю также начальное значение энергии каждой из нормальных волн:

           E_k(0) = 0.

.  Таким образом, согласно (35), (36) энергия, полученная каждой из нормальных волн, представляется выражениями:

      E₀(t) = ½ (Nm)^–1 а₀(t)²,                                                    

      E_k(t) = (Nm)^–1 соs² (kπ /2N) [а_k(t)² + b_k(t)²]      (k = 1, 2, ..., N –1).                                 (Н-4)                 

• Изменение энергии нормальных волн под действием краевой внешней силы максимально для акустического конца спектра и становится пренебрежимо  малым для теплового конца.

    Влияние длительности силового воздействия на спектральное распределение переданной энергии

    Предположим, что силовое воздействие имеет конечную продолжительность τ, т.е.

            F₀(t) = 0 при t ≤ 0 и при t ≥ τ.                                                                                   (B-1)        

а на интервале 0 ≤ t ≤ τ функция F₀(t) неотрицательна и не имеет минимумов.

    После окончания действия силы, т.е. при

                       t > τ,                                                                                                                 (В-2)

величины a_k(t) и b_k(t) перестают зависеть от времени и могут рассматриваться как функции безразмерных переменных μ_k и Θ = τ/τ* : 

                                        τ                                                            Θ                                                                  

     a_k  = a(μ_k, Θ) = ∫ F₀(t) cos (2πμ_k t/τ*) dt = τ* ∫ P(θ) cos (2πμ_kθ) dθ,                                 (B-3)

                                       0                                                             0                     

                                         τ                                                          Θ               

     b_k  = b(μ_k, Θ) = ∫ F₀ t) sin (2πμ_k t/τ*) dt = τ* ∫ P(θ) cos (2πμ_kθ) dθ,                                 (B-4)

                                        0                                                           0             

где

       θ = t/τ*,

       P(θ) = F₀(θτ*).  

   Аргументы функций a(μ_k, Θ) и b(μ_k, Θ) могут принимать значения из интервалов 

       0 ≤ μ_k < 1,  0 < Θ < ∞.

   Наилучшую среднюю квадратичную аппроксимацию функции P(θ) на интервале 0 ≤ θ ≤ Θ и, следовательно, наибольшие значения функций a(μ_k, Θ) и b(μ_k, Θ) дают гармоники со значениями частотного параметра  

    μ_k ≈ Θ ^–1 при Θ > 1                                                                                                           (В-5)

и   

    μ_k ≈ 1 при Θ ≤ 1.                                                                                                               (В-6)

• Внешнее силовое воздействие с длительностью τ  >> τ* (Θ >> 1) изменяет, главным образом, энергию нормальных волн вблизи акустического конца спектра.
• При τ ≈ τ* (Θ ≈ 1) возрастает относительная роль нормальных волн тепловой зоны. 

    Распространение волн, инициированных краевой внешней силой 

  Периодическое продолжение силового воздействия и его представление рядом Фурье

    Предположим, что продолжительность силового воздействия удовлетворяет условию

                              τ  < τ',                                                                                                      (Р-1)

где τ' = 2N / ν*  – приближённое суммарное время прохождения нормальных волн акустической зоны вдоль всей цепочки в прямом и обратном направлении.

    Определим функцию G(и) как периодическое продолжение с периодом τ' функции F₀(и), удовлетворяющей условию (В-3), на всю числовую ось с помощью формул:

    G(и) = F₀(и) при 0 ≤ и ≤ τ',                                                                                              (Р-2)

    G(и + τ') = G(и) при – ∞ < и < ∞.                                                                                    (Р-3)

    Будучи периодической, функция G(и) может быть представлена в виде ряда Фурье: 

                                              ∞

  G(и) = a'₀ /τ' + 2/τ' ∑ [a'_k соs (2kπ и/τ') + b'_k sin (2kπ и/τ')],                                               (Р-4)                           

                                           k = 1         

где коэффициенты a'_k и b'_k определяются формулами

                 τ'                                               τ'                                                                            

     a'_k = ∫ F₀(t) cos(2kπt/τ') dt= ∫ F₀(t) cos(ν*kπt/ N ) dt,                                                    (P-5)

                0                                                 0                            

                 τ'                                               τ'                                      

     b'_k = ∫ F₀(t) sin(2kπt/τ') dt = ∫ F₀(t) sin(ν*kπt/ N ) dt.                                                      (P-6)

                0                                                0                          

  Силовые воздействия высокой продолжительности

    Если продолжительность силового воздействия помимо (Р-1) удовлетворяет также неравенству

                         Θ ≡ τ / τ* >> 1,                                                                                           (Р-7)

то в разложении (27) основную роль играет небольшое членов, относящихся к акустическому краю спектра, причём, согласно (18),  для этих членов  

    ω_k ≈ ν* kπ /N = 2kπ / τ',                                                                                                     (P-8)     

и, следовательно,

    a'_k ≈ a_k,     b'_k ≈ b_k.                                                                                                               (Р-9)

а выражения (Н-1) и (Н-2) для моментов времени, удовлетворяющих условию (В-4), могут быть преобразованы к виду

   V₀(t, n) = 2a₀ /(ξτ'),                                                                                                              (Р-10)

   V_k (t, n) ≈            

   ≈ 2/(ξτ') { a_k соs [2kπ (t – n/ν* – 1/2ν*)/τ'] + b_k sin [2kπ (t – n/ν* – 1/2ν*)/τ']                     (Р-11)

                                       + a_k соs [2kπ (t + n/ν* + 1/2ν*) /τ'] + b_k sin [2kπ (t + n/ν* + 1/2ν*)/τ']}              

где

  ξ = ν*m.

    Сопоставляя (27), (Р-10), (Р-11) и (Р-4), мы получаем приближённое выражение для функции V(t, n), справедливое при выполнении условия (Р-7) для моментов времени, удовлетворяющих (В-4):

  V(t, n) ≈ 1/ξ [G(t – n/ν* – 1/2ν*) + G(t + n/ν* + 1/2ν*)].                                                       (Р-10)

    В течение первого цикла, т.е. при

             τ ≤ t ≤ τ'

первое слагаемое в правой части (Р-10) представляет собой инициированную на левом краю цепочки и бегущую вправо прямую волну, а второе слагаемое – волну, отражённую от правого края и бегущую влево.

    В силу условия периодичности (Р-3) после достижения отражённой волной левого края цепочки происходит отражение на левом краю и цикл повторяется.

    Пространственная форма прямой и отражённой волн полностью определяется функцией G(и), выражающей временную зависимость внешней силы.

• Приложенные к левому краю цепочки силовые воздействия, удовлетворяющие условию (Р-7), порождают уединённую волну, передвигающуюся с узловой скоростью ν* и совершающую периодическое возвратно поступательное перемещение между краями цепочки.
• Форма волны и переносимая ею энергия сохраняются с точностью, повышающейся при увеличении Θ.      

 /* См. Фиг. 1-  в разделе Иллюстрации */

/* Более полное исследование влияния силовых воздействий высокой продолжительности позволяет провести приближение упругого стержня */

  Силовые воздействия малой продолжительности

    Если продолжительность силового воздействия сравнима по величине с τ*, т.е.

                            Θ ≈ 1,

то, как следует из (35), роль нормальных волн, соответствующих акустической зоне спектра, значительно снижается и начинают проявляться нормальные волны тепловой зоны, передвигающиеся с различными скоростями, более низкими, чем ν*. Создаваемая таким воздействием волна скорости расплывается, а переносимая ею энергия уменьшается тем скорее, чем меньше Θ.

/* См. Фиг. -  в разделе Иллюстрации */

 

Файл должен быть доработан

Литература

1. Постников В.С. Физика и химия твёрдого состояния.- М.: Металлургия, 1978.- 544 с.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1989.- 616 с.

 

Дата последнего обновления:  06.05.10

Реальная физика