Главная страница

Качественный анализ спектра одномерной цепочки

  Спектр продольных колебаний одномерной цепочки                      

    Продольные колебания в одномерной цепочке, состоящей из N частиц, представляют собой cуперпозицию N взаимно независимых собственных колебаний. Пространственная форма каждого из собственных колебаний – нормальная мода – определяется одним из  собственных векторов матрицы системы е_k (k = 0, 1, ..., N–1), а изменение во времени – соответствующим собственным числом λ_k.

    Нормальная мода рассматривается как функция номера n частицы в цепочке, т.е. является функцией целочисленного аргумента, принимающего значения из множества

                    I = {0, 1, ..., N–1}.

    Наименьшее из собственных значений

                  λ₀ = 0,

а отвечающая ему нормальная мода е₀(п), представляющая нормированный собственный вектор е₀, является константой:      

                 е₀(п) = N ^{– ½},                                                                          (1)

т.е. k = 0 отвечает движению «отвердевшей» цепочки как единого целого.

    Остальные N–1 собственных колебаний цепочки, соответствующие k = 1, ..., N–1, представляют собой стоячие волны, моды которых могут быть представлены в двух тождественно эквивалентных формах:             

         е_k (п) = (2/N) ^½ соs [(n + ½) kπ/N]                                                                        (2)

                  = (2/N) ^½ а(n) s_j(n),                                                                (3)

где

а(n) = соs (nπ) = (– 1)^п,

s_j(n) = sin [(n + ½) jπ /N],

а число j связано с k соотношением: 

            k + j = N.                                                                                     (4)                 

   Соответствующие этим модам собственные круговые частоты ω_k пропорциональны корню квадратному из собственного значения λ_k :

          ω_k = (αλ_k /т)^½ = 2 ω* sin (kπ /2N) =                                                (5)

                                 = 2 ω* соs (jπ /2N),                                                  (6)

где ω* = (α /т)^½.

    Как по характеру зависимости собственных частот значений ω_k от номера k, так и по форме нормальных мод е_k (п), весь спектр делится на две качественно различные зоны. Первую половину значений номера k, для которой выполняется условие

                              1 ≤ k ≤ N/2,                                                               (7)

мы будем называть акустической зоной спектра, а вторую, для которой

                             1 ≤  j ≤ N/2,                                                                (8)

 – тепловой зоной.

    Если N – чётное число, то пограничное значение

                       k = j = N/2         

относится одновременно к обеим зонам.

  Форма нормальной моды

    Оба представления (2) и (3) функции е_k (п) позволяют расширить её определение c дискретного множества I на всю числовую ось. Из представления (2) следует, что при таком расширении функция е_k (п) является гармоникой с длиной полупериода  

                  l_k = N/k.

    С другой стороны, из представления (3) вытекает, что при том же расширении области определения функция е_k (п) может рассматриваться как произведение двух периодических функций или, иначе, двух псевдоволн: миниволны а(n) с полупериодом 1 и максиволны s(n), для которой длина полупериода определяется выражением

                  l_j = N/j.

    Как следует из (7) и (8), в акустической зоне длины полупериодов l_k и l_j удовлетворяют условиям:

               l_k  ≥ 2, l_j ≤ 2,                                                                              (9)

а в тепловой зоне

               l_k ≤ 2, l_j ≥ 2.                                                                              (10)

    Неравенства (9) означают, что в акустической зоне при аргументе, принимающем значения из множества I, периодичность, определяемая представлением (3), не может проявиться, так что реальную форму нормальных  мод в этой зоне определяет представление (2).

    Промежутки между узлами, на которых происходит смена знака е_k (п), соответствуют корням функции соs [(n + ½) kπ/N] и, значит, число смен знака равно числу полупериодов k. Согласно (7) это означает, что в акустической зоне число смен знака функции е_k (п) не превосходит половины числа узлов.     

    В тепловой зоне, как следует из (10), лучшее представлние о форме нормальной моды даёт представление (3). При этом миниволна, определяемая функцией а(n), имеет в любых двух соседних точках п и п+1 противоположные знаки и обладает кратчайшим возможным на целочисленной сетке периодом, равным 2. Для максиволны, определяемой функцией s_j(n), число перемен знака равно j. Таким образом, в тепловой зоне смена знаков происходит между всеми соседними точками, кроме тех, для которых меняется знак s_j(n), т.е. число перемен знака не менее половины числа узлов.   

  Собственные частоты

   Акустическая зона

    В силу неравенства (9) для аргумента q синуса в формуле (5) выполняется неравенство

        q = kπ/2N ≤ π/4 < 1.

    Это означает, что вблизи акустического края спектра, т.е. при k << N, для зависимости собственной круговой частоты от номера может быть использовно представление

          ω_k = 2 ω* q [1+ О(q²)] = ω* kπ /N [1+ О(q²)].                                (11)

   Тепловая зона

    Согласно (10) в тепловой зоне оказывается малым параметр r, пропорциональный j:

        r = jπ/2N ≤ π/4 < 1.

    Поэтому вблизи теплового края спектра (при j << N ) для собственной круговой частоты работает представление       

        ω_k = 2 ω* [1 – ½ r² + О(r⁴)].                                                             (12)

  Примеры графиков пространственных мод

   Акустическая зона

    В тех случаях, когда величина l_k является целым числом, нормальная мода является точной гармоникой и для дискретного аргумента. На Фиг.1 и Фиг. 2 приведены примеры графиков нормальных мод для таких случаев.

/* Все приведенные ниже графики получены с помощью системы MATLAB, причём расчёт компонент нормированных собственных векторов матрицы системы производился не по формулам (2), (3), а с использованием встроенного в MATLAB универсального численного метода */. 

Фиг. 1. N = 64, k = 8, j = 56, l_k = 8, l_j = 8/7.

                                                                                                                                Фиг. 2. N = 64, k = j = 32, l_k = l_j = 2.

     Если число l_k – не целое, гармоника несколько искажается, причём искажение тем больше, чем меньше величина l_k или, что то же самое, чем больше k.

Фиг. 3. N = 64, k = 3, j = 61, l_k = 64/3, l_j = 64/61 .

                                                                                                                               Фиг. 4. N = 64, k = 28, j = 36, l_k = 16/7, l_j = 16/9.

   Тепловая зона

    В этой зоне реальную форму нормальных мод выявляет представление (3). Чёткая периодичность максиволны видна в тех случаях, когда величина l_j – чётное целое число (см. Фиг. 5, Фиг. 6, и Фиг.2).

Фиг. 5. N = 64, k = 62, j = 2, l_k = 32/31, l_j = 32.

Фиг. 6. N = 64, k = 48, j = 16, l_k = 4/3, l_j = 4.

Если число l_j > 2, но не является целым чётным, описываемая формулой (3) закономерность проявляется тем ярче, чем больше l_j или, иначе, чем меньше j (см. Фиг. 7 и Фиг. 8).

Фиг. 7. N = 64, k = 61, j = 3, l_k = 64/61, l_j = 64/3.

Фиг. 8. N = 64, k = 36, j = 28, l_k = 16/9, l_j = 16/7.

 

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления:  14.11.08

Главная страница