Главная страница

Физика и физические мифы

Основные леммы теории переноса

  Локальная система координат и некоторые геометрические соотношения 

    Во всём дальнейшем тексте используется принятая в тензорном исчислении индексная система обозначений.

    Пусть

  S  гладкая поверхность,

  x0 – произвольная точка на этой поверхности,

  nединичный вектор нормали к S  в точке x0,

  λ средняя длина свободного пробега,

    Рассмотрим декартову систему координат (O, x1, x2, x3) с центром O, совпадающим с точкой x0 и осью Ox3, направленной вдоль вектора n, а также сферическую систему координат (O, r, φ, θ), полярная ось которой совпадает с осью Ox3, а начало отсчёта азимута φ с осью Ox1. 

    Единичный вектор s, определяющий направление, противоположное направлению радиуса вектора рассматриваемой точки, имеет в декартовой системе компоненты

         s1 = cos φ sin θ,

         s 2 = sin φ sin θ,                                                                                                                         (1)                                             

         s 3 = cos θ.

а точка x' = x0 λs  координаты

         x1 = λ cos φ sin θ = λ s1,

         x2 = λ sin φ sin θ = λ s2,                                                                                                                                             

         x3 = λ cos θ = λ s3.

              Лемма

    Пусть f(x) – функция точки, дифференцируемая при х = х0, и число λ настолько мало, что замена приращения функции

                f(x0 λs) – f(x0)

первым дифференциалом, т.е. использование представления  

   f(x0 λs) = f(x0) + xi f, i (x0) = f(x0) λ si f, i(x0),                                                     (2)

даёт приемлемую точность для всех возможных направлений вектора si.  

    Тогда справедливы следующие приближённые формулы

 А. (4π)–1f(x0 λs) dΩ = f(x0),                                                                          

                       Ω                            

 

 В. (4π)–1f(x0 λs) si dΩ = λ/3 f, i(x0),                                                                                       

                       Ω                            

 

 С. (4π)–1 f(x0 λs) si s3 dΩ = 1/3 f(x0) δi3.                                                                                        

                         Ω                            

где

                                     2π        π/2

   F(s) dΩ = dφ F(s) sinθ dθ,                                                                                                                  

    Ω                             0       – π/2                              

   δij – символ Кронекера.

     Доказательство

     Рассматриваются три типа интегралов от функции b(s) = f(x0 λs), взятых по полному телесному углу Ω:

        Q = (4π)–1b(s) dΩ,                                                                                                                    (3)

                                Ω                            

 

        R i = (4π)–1b(s) si dΩ,                                                                                                                (4)

                                  Ω                               

 

        S i = (4π)–1 b(s) si s3 dΩ,                                                                                                             (5)

                                 Ω                              

    Подстановка выражения (2) в интегралы (3)-(5) даёт:

      Q = А f(x0) λ Bi f, i(x0),                                                                                                                (6)  

      R i = Bi f(x0) λ Cij f, j(x0),                                                                                                             (7)

      S i = Ci3 f(x0) λ Dij f, j(x0),                                                                                                           (8)

 где

      A = (4π)–1dΩ,                                                                                                                  

                             Ω        

 

      Bi = (4π)–1 si dΩ.                                                                                

                              Ω

 

      Cij = (4π)–1si sj dΩ.                                                                                              

                                Ω                              

 

      Dij = (4π)–1si sj s3 dΩ.                                                                                             

                               Ω                               

    Учитывая выражения (1) для вектора si и произведя интегрирование, имеем

      A = 1,                                                                                                                                          

      Bi = 0   ( i = 1, 2, 3),                                                                                                                  

      Cij = 1/3 δij,                                                                                                                                 

      Dij = 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).                                                                                                  

    Использование полученных значений коэффициентов A, Bi, Cij и Dij в равенствах (6)-(8) доказывает Лемму.

 

И.С. Житомирский

Дата последних изменений: 23.02.09

Главная страница

Физика и физические мифы

 

Hosted by uCoz