Основные леммы
теории переноса
Локальная
система координат и некоторые геометрические соотношения
Во всём дальнейшем тексте используется принятая в
тензорном исчислении индексная система обозначений.
Пусть
S – гладкая поверхность,
x0 –
произвольная точка на этой поверхности,
n – единичный вектор нормали к S в точке x0,
λ – средняя длина свободного пробега,
Рассмотрим декартову систему координат (O, x1, x2, x3) с центром O, совпадающим с точкой x0 и
осью Ox3, направленной вдоль вектора n, а также сферическую
систему координат (O, r, φ, θ), полярная ось которой совпадает
с осью Ox3, а начало отсчёта азимута φ с осью Ox1.
Единичный вектор s, определяющий
направление, противоположное направлению радиуса вектора рассматриваемой точки,
имеет в декартовой системе компоненты
s1 = – cos φ sin
θ,
s 2 =
– sin φ sin θ,
(1)
s 3 = –
cos θ.
а точка x' = x0 –
λs координаты
x1 = λ cos φ sin θ = – λ s1,
x2 = λ sin φ sin θ = –
λ s2,
x3 = λ cos θ = –
λ s3.
Лемма
Пусть
f(x) – функция точки, дифференцируемая
при х = х0, и число λ настолько мало, что замена приращения
функции
f(x0 – λs) – f(x0)
первым
дифференциалом, т.е. использование представления
f(x0 – λs) = f(x0) + xi f, i (x0) = f(x0) –
λ si f, i(x0),
(2)
даёт
приемлемую точность для всех возможных направлений вектора si.
Тогда
справедливы следующие приближённые формулы
А. (4π)–1∫ f(x0 – λs) dΩ = f(x0),
Ω
В. (4π)–1∫ f(x0 – λs) si dΩ = – λ/3 f, i(x0),
Ω
С. (4π)–1 ∫ f(x0 – λs) si s3 dΩ = 1/3 f(x0)
δi3.
Ω
где
2π π/2
∫ F(s) dΩ = ∫ dφ ∫ F(s) sinθ dθ,
Ω 0
–
π/2
δij – символ Кронекера.
Доказательство
Рассматриваются три типа интегралов от
функции b(s) = f(x0 – λs), взятых по полному телесному углу Ω:
Q = (4π)–1 ∫ b(s) dΩ,
(3)
Ω
R i = (4π)–1 ∫ b(s) si dΩ,
(4)
Ω
S i = (4π)–1 ∫ b(s) si s3 dΩ,
(5)
Ω
Подстановка выражения (2) в интегралы (3)-(5)
даёт:
Q = А f(x0)
–
λ Bi f, i(x0),
(6)
R i = Bi
f(x0) – λ Cij f, j(x0),
(7)
S i = Ci3
f(x0) – λ Dij f, j(x0), (8)
где
A
= (4π)–1 ∫ dΩ,
Ω
Bi
= (4π)–1 ∫ si dΩ.
Ω
Cij = (4π)–1 ∫ si sj dΩ.
Ω
Dij = (4π)–1 ∫ si sj s3 dΩ.
Ω
Учитывая выражения (1) для вектора si и произведя интегрирование, имеем
A = 1,
Bi = 0 ( i = 1, 2, 3),
Cij = 1/3 δij,
Dij = 0 (i
= 1, 2, 3; j =
1, 2, 3).
Использование полученных значений
коэффициентов A, Bi, Cij и Dij в равенствах (6)-(8) доказывает Лемму.
Дата последних изменений: 23.02.09