П. Плотник

Число Z и Лемма Z

Список основных обозначений

  k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана;    

  т – масса молекулы газа, кг;

  R = k/m – газовая постоянная, Дж/(кг∙К);

  Т – температура, К;

  v – вектор скорости течения;

  v – модуль вектора скорости течения, м∙с ^–1;

  w – вектор скорости молекулы в лабораторной системе отсчёта

  α = (8R /π)^½ – постоянный для данного газа коэффициент, м/(с∙К^½);(см. Таблицу 1)

  ω – вектор тепловой скорости молекулы

  ‹ω› – среднее значение модуля вектора тепловой скорости, м/с;

 

  Определение числа Z

        Z ≡ v /‹ω› =  v α ^–1 T ^{– ½},      

 

  Лемма Z

      Если число Z удовлетворяет условию

          Z << 1,

то с вероятностью, близкой к достоверности, вектор тепловой скорости ω можно приближённо считать колинеарным вектору скорости w в лабораторной системе отсчёта.

 

   Доказательство  

    По определению  

       w = v + ω.                                                                                                     

    Пусть s – единичный вектор направления скорости w.

    То обстоятельство, что сумма векторов ω и v колинеарна вектору s, говорит о том, что ортогональные к s составляющие этих векторов

                                  ω_о =   ω – (ω·s) s ,  v_о = v – (v·s) s 

равны по абсолютной величине

                                    ω_о = v _о                                                                     

и противоположно направлены. Поскольку v _о ≤ v и по предположению леммы

                                    v << ‹ω›,                                                       

то

                                   ω_о << ‹ω›.                 (1)

    Из неравенства (1) следует, что в ситуации, имеющей вероятность, близкую к единице, когда

                         ω ≈ ‹ω› или  ω > ‹ω›,                            

имеет место неравенство

                         ω_о << ω,

а, значит, угол α между векторами w и ω удовлетворяет условию

                       sin α = ω_о / ω << 1.               (2)                                                               

    Соотношение (2) и означает приближённую колинеарность векторов w и ω.

Дата последнего обновления:  22.05.10

Главная страница

 

Кое-что из реальной физики

 

Элементы физики газов