Средняя длина свободного пробега

и среднее расстояние между молекулами

Формула для средней длины свободного пробега

В одной из первых работ по кинетической теории газов Максвеллом была получена формула для средней длины λ свободного пробега:

λ = (2^½ пσ)^{– 1}, (1)

где

п – числовая плотность (число молекул газа в единице объёма),

σ – эффективное сечение соударения (ЭСС) молекул.

Как показывает анализ процесса столкновения молекул, ЭСС является функцией от температуры газа Т и представляется формулой

σ(Т) = π r_imp² = π d_eq² (1 + Т */Т), (2)

где

d_eq – равновесное расстояние между молекулами;

Т* = 2/3 Е_т/ k – глубина потенциальной ямы, выраженная в температурных единицах;

Е_т – глубина потенциальной ямы потенциала взаимодействия между молекулами, выраженная в единицах энергии;

k – постоянная Больцмана.

Если обозначить через

l_e = 2^¼ π^½d_eq (3)

эффективный линейный размер молекулы, то с учётом (2) формула (1) представляется в виде

λ = l_e^{– 2} п^{– 1} Θ, (4)

где

Θ = Т / (Т + Т *).

Выражая числовую плотность п через удельный объём газа υ и массу молекулы т

п= (тυ)^–1, (5)

можно формулу (4) преобразовать к виду, в котором она будет использована в дальнейшем:

λ = β υ Θ,

где

β = т l_e^{– 2} = 2^{– ½} π^–1 т d_eq^{– 2}– постоянный для данного газа коэффициент.

Зависимость средней длины свободного пробега от температуры

Величина Θ принимает значения, удовлетворяющие условиям:

0 < Θ < 1,

причём при Т >> Т *

Θ ≈ 1,

а при Т << Т *

Θ ≈ Т / Т *. (6)

Из соотношения (6) отнюдь не следует, что длина свободного пробега λ стремится к нулю при Т → 0, т.к. удельный объём газа должен удовлетворять условию

υ ≥ υ_s(T),

где υ_s(T) – удельный объём насыщенного пара при температуре Т , причём

υ_s(T) → ∞ при Т → 0.

Отношение среднего расстояния между молекулами газа к средней длине свободного пробега

Среднее расстояние d между центрами молекул выражается через числовую плотность п с помощью равенства

d = п^–
1/3. (7)

Исключив из (5) и (7) числовую плотность, получаем связь между параметрами λ и d

λ / l_e = (d / l_e)³ Θ. (8)

Из (5) и (7)-(8) следует, что

d/λ = (l_e/d)²/Θ = W,

где

W ≡ т^1/3 ρ^2/3/(βΘ).

Таблица 1. Оценочные значения параметров d_eq и β для некоторых газов

Вещество О₂ N₂ ⁴He Н₂

Масса молекулы т, кг 5.35∙10^–26 4.68∙10^–26 6.69∙10^–27 3.35∙10^–27

Критическая плотность ρ_с, кг/м³ 436 313 69.64 30

Равновесное расстояние между молекулами d_eq, м 3.8∙10^–10 4.06∙10^–10 3.5∙10^–10 3.68∙10^–10

Коэффициент β, кг/м² 8.3∙10^–8 6.4∙10^–8 1.22∙10^–8 0.56∙10^–8

Таблица 2 (составлена на основании данных о Стандартной атмосфере).

Зависимость средней длины свободного пробега и среднего расстояния между молекулами воздуха для земной атмосферы

_______________________________________________________________________

Высота над уровнем моря h, км 0 100 200 300

Числовая плотность п, м^–3 2.55·10²⁵ 1.8·10¹⁹ 5·10¹⁵ 3·10¹⁴

Длина свободного пробега λ, м 1·10^–
7 1·10^–1 300 3·10³

Среднее расстояние между молекулами d, м 3·10^–9 4·10^–7 6·10^–6 1·10^–5

Отношение λ / d, безразмерн. 30 2.5·10⁵ 5·10⁷ 3·10⁸

На высоте h ≈ 250-500 км над уровнем моря начинается самый верхний слой атмосферы – экзосфера, в котором длина свободного пробега столь велика, что столкновениями между молекулами можно пренебречь. Движение молекул в экзосфере полностью определяется дальнодействующими силами, порождаемыми макрополями.

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления: 30.05.09

Главная страница

Система уравнений газо-термодинамики