П. Плотник

Число Х и Лемма Х

Список основных обозначений и сокращений

  Е_т – глубина потенциальной ямы потенциала взаимодействия между молекулами;                                                          

  g – модуль вектора ускорения гравитационного макрополя, м/с²;

  k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана;    

  т – масса молекулы газа, кг;

  R = k/m – газовая постоянная, Дж/(кг∙К);

  Т – температура, К;

  Т* = 2/3 Е_т/ k – глубина потенциальной ямы, выраженная в температурных единицах;                                                          

  β – постоянный для данного газа коэффициент, кг/м²(см. Таблицу 1);                                                                                                                     

  υ – удельный объём, м³/кг.

  СМЛП - система мгновенного локального покоя.

 

      Определение безразмерного числа Х   

   X = β R^–1 g υ (Т + Т*)^–1.

 

      Лемма X

   Если выполнено условие

                           X << 1,

то в СМЛП среднее изменение кинетической энергии молекулы Е^kin во время свободного пробега под действием гравитации пренебрежимо мало по сравнению со средней кинетической энергией теплового движения Е^th.

 

  Доказательство

    Пусть молекула в результате столкновения приобрела в СМЛП скорость ω₀, которая под действием гравитационного ускорения g непрерывно изменялась и приобрела к моменту следующего столкновения значение ω₁.

    Далее предполагается, что вектора ω₀ и g колинеарны и противоположно направлены, т.к. именно в этом случае изменение модуля скорости и кинетической энергии оказывается наибольшим. Длина пути l(t), пройденного молекулой за время t, и скорость ω(t) удовлетворяют при этом дифференциальным уравнениям:

 dl/dt = ω,                                                                 (1)

 dω/dt = – g.                                                             (2)

    Уравнения (1), (2) можно заменить одним уравнением относительно функции l = l(ω): 

    dl/dω = – ω/g,                                     

общее решение которого имеет вид

    ω² + 2gl = С,

где С – произвольная постоянная. 

    Используя начальное условие

    ω = ω₀ при l = 0,

получаем

    С = ω₀²

и, следовательно, к моменту следующего столкновения, когда пройден путь l₁, модуль приращения квадрата скорости определяется формулой:

  |ω₁² – ω₀²| = 2gl₁.                                                    (3)

    Поскольку в общем случае изменение квадрата скорости может быть только меньшим определяемого формулой (4), обозначая угловыми скобками ‹› среднее значение заключённой в них величины, имеем

  |‹ω₁² – ω₀²›| ≤ 2g‹l₁›= 2gλ.                                      (4)

    Как следует из определения энергии теплового движения и  температуры,

   ‹ω₀²› = 2 т^–1Е^th = 3 RT.                                         (5)

   Учитывая формулу для средней длины свободного пробега λ: 

                        λ = β υ Т (Т + Т*)^–1,                                       

а также соотношения (4) и (5), получаем:

    |‹Е^kin₁– Е^kin₀›|/ Е^th = |‹ω₁² – ω₀²›|/‹ω₀²› ≤ 2 β Т (Т + Т*)^–1 g υ /(3RT) = 2/3 X,

откуда при выполнении условия леммы следует её утверждение.

   Следствия леммы Х

 При выполнении условия X << 1:

  1) наличие гравитационного ускорения не оказывает заметного влияния на среднее относительное изменение скорости теплового движения во время свободного пробега, а, следовательно, и на функцию распределения тепловых скоростей (в частности, наличие гравитации не нарушает в этом случае изотропию распределения);  

  2) математическое ожидание приращения скорости в промежутке времени между началами двух последовательных столкновений молекулы можно считать равным нулю;

  3) изменения на расстоянии средней длины свободного пробега таких макроскопических параметров газа, как плотность, температура и скорость течения, малы и могут быть представлены первыми дифференциалами этих функций.

  Доказательство следствий

   Изменения макроскопических параметров на расстоянии средней длины свободного пробега при отсутствии заметной ионизации происходят почти исключительно под действием гравитации, так что их малость непосредственно вытекает из утверждения леммы.

 

Дата последнего обновления:  22.05.10

Главная страница

 

Кое-что из реальной физики

 

Элементы физики газов