Главная страница

Физика и физические мифы

Баланс массы

Список основных обозначений

 D_T (х, t) = ½ β T ^{– ½} – коэффициент температурной самодиффузии, Па∙с /К;.

 D_ρ (х, t) = η(х, t) υ(х, t) – коэффициент плотностной самодиффузии, м²∙с^–1;

  k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана;    

  т – масса молекулы газа, кг;

  п = п(х, t) – числовая плотность газа, м^–3; 

  Т = Т(х, t) – температура, К;

  t – время, с; 

  v_i = v_i (х, t) – вектор скорости течения, м∙с ^–1;

  х – радиус-вектор точки пространства, м;

  α = (8k/πm)^½ – постоянный для данного газа коэффициент , м/(с∙К^½);

  β = α γ/3 = 2/3 σ^–1 (mk/π)^½ – константа переноса, Па∙с / К^½;

  γ = т (2^½ σ) ^{– 1} – постоянный для данного газа коэффициент, кг/м²; 

  η(х, t) = 1/3 λ П = β T ^½  – вязкость газа, Па∙с;

  λ(х, t) = γ υ – средняя длина свободного пробега, м;

  П(х, t) = ρ‹ω› = α ρ T ^½ – диффузионный потенциал, кг/(м²∙с);

  ρ = ρ(х, t) = т п(х, t) – массовая плотность, кг/м³;

  σ – эффективное поперечное сечение соударения частиц, м²;

  υ(х, t) = ρ(х, t) ^–1 – удельный объём, м³/кг;

 ‹ω›(х, t) =  (8 kT /πm)^½ = α T ^½(х, t) – среднее значение модуля тепловой скорости;                                                                                        

 `F(х, t) = ∂F /∂t – частная производная по времени от функции F .

 

   Система координат 

    Пусть

x₀ – фиксированная пространства в лабораторной системе отсчёта;

dS  – содержащая точку x₀ площадка с единичным вектором нормали n и площадью dА;

t – произвольный момент времени.

    Рассмотрим декартову систему координат (x₁, x₂, x₃) с центром O, совпадающим с точкой x₀ и осью Ox₃, направленной вдоль вектора n. Наряду с декартовой системой рассмотрим также сферическую систему координат (O, r, φ, θ), полярная ось которой совпадает с осью Ox₃, а начало отсчёта азимута φ с осью Ox₁. 

    Точки x', лежащие на сфере радиуса λ с центром в точке О, имеют координаты

         x₁ = λ cos φ sin θ,

         x₂ = λ sin φ sin θ,                                                                                                                  

         x₃ = λ cos θ,

а единичный вектор s, направленный от x' к x₀, имеет в декартовой системе компоненты

         s₁ = – cos φ sin θ,

         s ₂ = – sin φ sin θ,                                                                                                                  

         s ₃ = – cos θ.

    Выраженные через вектор s точки на той же сфере имеют вид x' = x₀ – λs  и координаты

         x₁ = – λ s₁,

         x₂ = – λ s₂,                                                                                                                             

         x₃ = – λ s₃.

   Тепловые скорости и скорость течения  

    По определению понятий скорости течения v = v(х, t) и тепловой скорости ω вектор w скорости частицы в лабораторной системе отсчёта представляется в виде суммы:

        w = v + ω.                                                                                                                              (1)                                                 

    Если обозначить через s единичный вектор направления скорости w в лабораторной системе, то при выполнении условий Леммы Z фигурирующая в (1) тепловая скорость с величиной ω порядка или больше среднего значения имеет направление близкое к s. Таким образом, при использовании тензорной нотации вектор w представляется формулой:

        w_i = v_i + ω s_i.                                                                                                                         (2)

    В правой части (2) первое слагаемое v_i является детерминированной (неслучайной) величиной, тогда как второе слагаемое содержит в качестве множителя распределённую по Максвеллу случайную величину ω.

    При наличии локального термодинамического равновесия абсолютные величины ω векторов ω тепловых скоростей принимают случайные значения в соответствии с распределением Максвелла, а среднее значение абсолютной величины тепловой скорости представляется формулой

              ‹ω›(T) =  (8 kT /πm)^½ = α T ^½,                                                                                         (3)

где

  α = (8k/πm)^½, м/(с∙К^½).

    Направления векторов ω равномерно распределены по полному телесному углу 4π.

   Плотность потока массы как интеграл по направлениям прилёта   

    Целью данного раздела является определение плотности результирующего потока массы, переносимого молекулами газа, которые пересекают площадку dS, т.е. функции М(x₀, n, t), такой что произведение М(x₀, n, t) dА представляет собой разность между потоками, переносимыми молекулами, которые пересекают площадку dS в положительном и отрицательном направлении вектора n.

    Величина М(x₀, n, t) представляется в виде интеграла по всем возможным направлениям вектора s, т.е. по полному телесному углу Ω, от плотности потока с заданного направления J(x₀, n,  s, t), переносимого молекулами, вектор скорости которых в лабораторной системе w имеет направление s:

         М(x₀, n, t) = ∫ J(x₀, n,  s, t) dΩ,                                                                                            (4)

                                   Ω                            

где dΩ = sinθ dφ dθ.

    Величина J(x₀, n,  s, t) зависит от скорости и количества молекул, прилетающих в область осреднения А(x₀) со стороны, противоположной по направлению вектору s. Соответствующие вероятностные параметры определяются значениями основных газодинамических функций в точке x', в окрестности которой произошли последние столкновения рассматриваемой молекулы с другими молекулами. Точка x' отстоит от начала отсчёта x₀ на расстояние, примерно равное средней длине свободного пробега λ и находящейся в направлении, противоположном вектору s, т.е. можно принять  

    x' = x₀ – λs.                                                                                                                               

    Как видно из (1) и (2), при наличии локального термодинамического равновесия и выполнении условий Леммы Z направления полёта молекул, вылетающих из А(x') и имеющих не очень малую тепловую скорость, равномерно распределены по полному телесному углу 4π, т.е. для любого направления вылета s внутри телесного угла dΩ вокруг s за единицу времени вылетает (4π)^{– 1} n(x', t) dΩ молекул. Количество молекул, пересекающих за единицу времени единицу площади поверхности, нормальной к n, пропорционально также компоненте w₃ скорости молекулы. Таким образом, с учётом (2) и (3),

      J(x₀, n,  s, t) = (4π)^{– 1} m n(x', t) ‹w₃› = (4π)^{– 1} m n(x', t) [v₃(x', t) + s₃ ‹ω ›].                            (5) 

   Плотность потока массы как функция ориентации площадки

    Из (3)-(5) следует выражение для плотности потока массы через площадку с нормалью n:

        М(x₀, n, t) = (4π)^{– 1} ∫ (ρ(x', t) v₃(x', t) + П(x', t) s₃) dΩ,                                                         (6)  

                                               Ω                            

где

  П = ρ‹ω› = α ρ T ^½ – диффузионный потенциал,

    В предположении о дифференцируемости функций ρ(x), T(x), и v₃(x), а также малости числа Z

                     Z << 1                                                                                  

использование утверждение А и В Основной леммы теории переноса позволяет в линейном приближении по малому параметру λ представить плотность потока массы через площадку с нормалью n в виде: 

    М(x₀, n, t) = ρv₃ – 1/3 λ П_{, 3},                                                                                                     (7)

причём все функции в правой части вычисляются в точке x₀ в момент времени t.                                                     

   Как следует из известной формулы для средней длины свободного пробега,

    λ = γυ,                                                                                                                                     

где

   γ = т (2^½ σ) ^{– 1},

   υ = ρ ^–1 – удельный объём.

   Вектор плотности потока массы

    Как видно из (7), при специальном выборе системы координат, таком что направление нормали n к площадке совпадает с направлением оси Ох₃, плотность потока массы через площадку с нормалью n представляется в виде суммы направленной вдоль n компоненты вектора ρv_i и выражения – βυ(ρT ^½)_{, 3}, содержащего производную по направлению нормали от функции ρT ^½, т.е. проекцию на вектор n градиента (ρT ^½)_{, i} этой функции. Это означает, что для общего случая координатной системы вектор М_i плотности потока массы, проекция которого на направление нормали к площадке любой ориентации имеет ту же величину, представляется формулой:

        М_i = ρv_i – 1/3 λ П_{, i},                                                                                                              (8)                                                                   

    Определяемый согласно (8) вектор М_i состоит из двух слагаемых:

    - плотности потока массы, определяемого течением

               М ^S_i = ρv_i; 

    - плотности потока самодиффузии, определяемого тепловым движением и пропорционального градиенту диффузионного потенциала П:

               М ^T_i = – 1/3 λ П_{, i}.                                                                                                         (9)

    Соотношение (9) для плотности потока самодиффузии с точностью до обозначений совпадает с формулой, приведенной в книге [Gombosi, Tamas I. Gaskinetic Theory. Cambridge (England), New York: Cambridge University Press, 1994. – 297 p.].

   Плотностная и температурная самодиффузия

    Поскольку

    υ(ρT ^½)_{, i} =  T ^½ υ ρ_{, i} + ½ T ^{– ½} Т_{, i} = T ^½ (ln ρ)_{, i} + ½ T ^{– ½} Т_{, i},               

плотность потока самодиффузии представляется в виде суммы

  М ^T_i = М ^Tρ_i + М ^TТ_i,

где 

  М ^Tρ_i = – D_ρ ρ_{, i} =                                                                                                                       (10)

           = – η (ln ρ)_{, i}                                                                                                                      (11)   

                                – плотность потока плотностной самодиффузии,

  М ^TТ_i = – D_T Т_{, i}

                                – плотность потока температурной самодиффузии,    

  D_ρ = β υ T ^½ = η υ – коэффициент плотностной самодиффузии,                                      (12) 

  D_T = ½ β T ^{– ½} – коэффициент температурной самодиффузии,                                        (13)

   η = β T ^½ – вязкость газа,

   β = α γ/3 = 2/3 σ^–1 (mk/π)^½.                                                                                                                   

    Выражение (12) для коэффициента плотностной самодиффузии эквивалентно полученным ещё в ранних работах Клаузиуса и Максвелла формулам для коэффициента диффузии в газах.

    Как видно из (11), плотностная самодиффузия может играть существенную роль только в тех случаях, когда характерный размер L рассматриваемой области течения больше или сопоставим с характерным пространственным масштабом L _{ln ρ} изменения логарифма плотности газа. Примером задач, где плотностная самодиффузия играет существенную роль, является рассмотрение глобальных процессов в атмосферах планет и в газовых небесных телах. В частности, в атмосфере Земли характерный пространственный масштаб L _{ln ρ} изменения логарифма плотности по высоте составляет несколько километров, а размеры рассматриваемой области составляют сотни километров. 

    В то же время при решении более локальных задач, связанных с различными техническими устройствами, размеры которых намного меньше L _{ln ρ}, плотностной диффузией обычно можно пренебречь.

    Что касается температурной самодиффузии, то, как видно из формулы (13), её роль возрастает с понижением температуры и, напротив, убывает с повышением температуры. В результате оказывается, что при комнатных и более высоких температурах влияние температурной самодиффузии на газодинамические процессы пренебрежимо мало, но может оказаться весьма значительным в некоторых криогенных устройствах.  

    Уравнение баланса массы

    С использованием теоремы Гаусса-Остроградского нетрудно показать, что дифференциальное уравнение баланса массы в единице объёма имеет вид:

     `ρ + М_{i, i} = 0                                                                                                                           (14)

где значок «`» означает оператор взятия частной производной по времени или, с учётом выражения (10) для вектора плотности потока массы,  

     `ρ + (ρv_i)_{, i} = 1/3 (λ П_{, i})_{, i} .                                                                                                     (15)

    От классического уравнения неразрывности, используемого в газодинамике,

     `ρ + (ρv_i)_{, i} = 0                                                                                                                        (16)

уравнение (15) отличается наличием описывающего самодиффузию члена в правой части.

    При рассмотрении процессов в криогенных устройствах и, особенно, в милликельвиновом диапазоне, уравнение (15) можно упростить, пренебегая градиентом логрифма давления, но оставляя члены, описывающие температурную самодиффузию, т.е. используя уравнение

     `ρ + (ρv_i)_{, i} = η_{, i i} .                                                                                                                  (17)

    При более высоких температурах и не очень низких плотностях вполне приемлемый результат даёт использование уравнения (16).

    В то же время учёт самодиффузии совершенно необходим при решении многих задач для сильно разреженных газов. Это относится, в частности, к исследованию расплывания атмосферы планет за счёт диффузионного ухода газа в межпланетное пространство.      

    Наличие эллиптического дифференциального оператора в правой части уравнения (15) придаёт всей системе уравнений газо-термодинамики параболический характер и требует для выделения единственного решения задания соответствующих граничных условий.                                        

    Условие на границе с конденсированной фазой

   Пусть

  x₀ – точка на поверхности S, отделяющей газовую фазу от конденсированной (жидкой или твёрдой),

  n_i – единичный вектор нормали к поверхности S в точке x₀.

   Рассмотрим некоторые наиболее типичные ситуации.

   Граница газа и кристалла, представляющих собой разные вещества. Молекулы газа, подлетающие к поверхности кристалла, могут на ней либо отразиться, либо на некоторое время закрепиться (адсорбироваться). В случае адсорбционного равновесия количество подлетающих к поверхности молекул и отлетающих от неё одинаковы, так что предел проекции вектора плотности потока массы на направление вектора нормали при стремлении точки х к х₀ со стороны газовой фазы равен нулю:

           lim М_i n_i  = 0.                                                                                                                  (18)  

           x → x₀

   Граница газа с жидкостью или кристаллом того же вещества.

   В этом случае подлетающие к поверхности молекулы газа, как правило, переходят в конденсат или десублимируются, а некоторые из молекул, находящихся в поверхностном слое конденсата, могут, напротив, отрываться от него и переходить в газовую фазу (испаряться или сублимироваться). В случае фазового равновесия, наряду с соотношением (18), в качестве граничного условия может использоваться также равенство    

                  ρ(x₀) = ρ_s[T(x₀)],

где

  ρ_s[T] – плотность насыщенного пара при температуре Т.

 

 

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления:  14.03.09

Главная страница

Физика и физические мифы