Главная страница

Система уравнений газо-термодинамики

Режим Максвелла

Список основных обозначений

  d_eq – равновесное расстояние между молекулами, м;

  Е_т – глубина потенциальной ямы потенциала взаимодействия между молекулами;                                                          

  g – модуль вектора ускорения гравитационного макрополя, м/с²;

  k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана;    

  т – масса молекулы газа, кг;

  р = ρ R T – величина, которая, как следует из выражения для плотности потока импульса, играет роль давления, Па;                                           

  R = k/m – газовая постоянная, Дж/(кг∙К);

  Т – температура, К;

  Т* = 2/3 Е_т/ k – глубина потенциальной ямы, выраженная в температурных единицах;                                                          

  α = (8R /π)^½ – постоянный для данного газа коэффициент, м/(с∙К^½);(см. Таблицу 1)

  β = 2^{– ½} π^–1 т d_eq^{– 2} – постоянный для данного газа коэффициент, кг/м²;  (см. Таблицу 1)

  δ = β /α – постоянный для данного газа коэффициент, кг∙с∙К^½ ∙ м^–3; (см. Таблицу 1)

  Θ = Т / (Т + Т*);

  λ = β υ Θ – средняя длина свободного пробега, м;

  ρ – плотность газа, кг/м³;

  υ = ρ ^–1 – удельный объём, м³/кг;

    Распределение Максвелла

    В 1859 году, предположив наличие молекулярного хаоса, означающего, в частности, равную вероятность всех направлений скоростей молекул, Дж. К. Максвелл показал, что в газе, находящемся в состоянии полного термодинамического равновесия (ПТР), плотность вероятности f(w) абсолютных значений скорости молекул определяется формулой:

          f (w) = 4π^{– ½} (2RT)^–3/2exp(- w²/2RT) w².                                                (1)

    Из формулы (1) следует, что средние значения первых трёх степеней абсолютной величины тепловой скорости молекул представляются соотношениями

              ‹ω› = α T ^½,                                                                                       (2)                                                               

              ‹ω²› = 3 R T,                                                                                                    

              ‹ω³› = 4α R T ^3/2.  

    Режим Максвелла (временное локальное равновесие)

    Как показывает анализ системы уравнений газо-термодинамики, для газа в закрытом сосуде ПТР принципиально недостижимо, а единственным равновесным состоянием атмосферы, сообщающейся с вакуумом межпланетного пространства, является этот самый вакуум, т.е. отсутствие атмосферы. Во многих случаях, однако, выполняются условия, при которых функция распределения тепловых скоростей может быть аппроксимирована формулой Максвелла (1) со значением температуры, зависящим как от координат рассматриваемой точки, так и от времени.

·        Режимом Максвелла будет называться состояние газовой среды в точке х и в момент времени t, при котором значения тепловых скоростей подчиняются распределению Максвелла (1) с температурой T(x, t), определённой по области осреднения А(x).

    Условия установления режима Максвелла

    На языке теории вероятностей предположение Максвелла о молекулярном хаосе означает, что при ПТР изменения скорости молекулы в результате её столкновений (ближних взаимодействий) с другими молекулами являются независимыми случайными событиями с нулевым математическим ожиданием. Как утверждает центральная предельная теорема (ЦПТ) теории вероятностей, распределение суммы N одинаково распределённых независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием при N → ∞ стремится к нормальному распределению при любой функции распределения слагаемых. Это означает, что при выполнении условий ЦПТ проекции тепловых скоростей молекул на оси декартовых координат приобретают в результате случайных столкновений с другими молекулами нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией, равной произведению RТ, а при переходе к сферическим координатам в скоростном пространстве для плотности распределения абсолютной величины скорости выполняется формула (1).  

   Таким образом, для установления распределения, близкого к нормальному, должно выполняться условие

              N ≥ N_с,

где N_с – достаточно большое число.

   Таким образом, состояние газа близко к режиму Максвелла в тех случаях, когда выполнены следующие условия.

 1. Среднее значение числа столкновений фиксированной молекулы до её выхода из рассматриваемой области осреднения ≥ N_с.

    Число столкновений N_с, которое требуется для приближённого установления ВЛР, убывает при уменьшении отношения

      ε = r_а L_T ^–1,

где

r_а – радиус области осреднения,

L_T – пространственный  масштаб изменений температуры.

    Поскольку среднее удаление конечной точки ломанной, изображающей путь частицы при N_с столкновениях, от начальной точки пропорционально корню квадратному из N_с, для достижения ВЛР необходимо выполнение условия

                           r_а ≥ N_с ^½ λ.                                                                           (3)

    Следствие 3 из леммы X позволяет заключить, что при выполнении неравенства

        X ≡ β Θ g p^–1 << 1,                                                         (4)   

отношение длины свободного пробега к L_T мало по сравнению с единицей 

        λ L_T ^–1 << 1                  

и, значит, можно выбрать радиус области осреднения r_а таким образом, что он удовлетворяет условию (3) и одновременно ε << 1. Иначе говоря, в случае выполнения условия (4) можно считать N_с близким к единице и принять минимально допустимый размер r_а равным λ.  

 2. Изменения скорости фиксированной молекулы в результате цепи последовательных столкновений не зависят друг от друга.

    Степень взаимной зависимости скоростей молекул, участвующих в столкновении, уменьшается по мере роста числа молекул, с которыми может столкнуться фиксированная молекула во время своего свободного полёта, т.е. по мере увеличения отношения средней длины свободного пробега λ к среднему расстоянию d между молекулами. Поскольку отношение d/λ равно числу W, последовательные столкновения молекулы газа можно считать независимыми событиями, если выполнено условие

        d/λ = W ≡ т^1/3 ρ^2/3/(βΘ) << 1.

 3. Среднее значение суммарного изменения скорости в результате столкновения и на свободном пролёте равно нулю.

    Другими словами, это означает, что в системе мгновенного локального покоя относительное изменение величины скорости молекулы во время свободного пробега под действием гравитации должно быть в среднем значительно меньше единицы. Согласно лемме X последнее условие вытекает из неравенства (4)

4. Среднее время свободного пробега τ значительно меньше характерного времени τ* изменения основных газо-термодинамических функций 

  Отношение среднего времени свободного пробега τ к характерному времени τ* изменения основных газо-термодинамических функций по порядку величины совпадает с числом Y и удовлетворяет соотношению 

        τ / τ* ≈ Y ≡ δ τ*^–1 υ T ^½/(Т + Т*).               

  Таким образом, условие 

                      τ << τ*  

эквивалентно неравенству

         Y << 1.                                                                               

 

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления:  31.05.09

Главная страница

Система уравнений газо-термодинамики