Главная страница

Физика и физические мифы

Баланс импульса

Список основных обозначений

  g_i(х, t) – вектор ускорения гравитационного макрополя, м/с²;

  k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана;    

  т – масса частицы, кг;

  п(х, t) – числовая плотность газа, м^–3; 

  р(х, t) = n k T = ρ R T – давление, Па;                                 

  R = k/m – газовая постоянная, Дж/(кг∙К);

  Т = Т(х, t) – температура, К;

  t – время, с; 

  v_i (х, t) – вектор скорости течения, м∙с ^–1;

  х – радиус-вектор точки пространства, м;

  α = (8k/πm)^½ – постоянный для данного газа коэффициент , м/(с∙К^½);

  β = α γ/3 = 2/3 σ^–1 (mk/π)^½ – постоянный для данного газа коэффициент перноса, Па∙с / К^½;

  γ = т (2^½ σ) ^{– 1} – постоянный для данного газа коэффициент, кг/м²; 

  δ_ij – символ Кронекера;

  η(х, t) = 1/3 λ П = β T ^½  – вязкость газа, Па∙с;

  λ(х, t) = γ υ – средняя длина свободного пробега, м;

  П(х, t) = ρ ‹ω› = α ρ T ^½ – диффузионный потенциал, кг/(м²∙с);

  ρ(х, t) = т п – массовая плотность, кг/м³;

  σ – эффективное поперечное сечение соударения частиц, м²;

  υ(х, t) = ρ ^–1 – удельный объём, м³/кг;

  ‹а› – среднее значение величины а;

  `F(х, t) = ∂F /∂t – частная производная по времени от функции F .

   Постановка задачи

    Пусть

 S  – гладкая поверхность,

 x₀ – произвольная точка на этой поверхности,

 n – единичный вектор нормали к S  в точке x₀,

 t – произвольный момент времени,

    Целью данного раздела является определение плотности результирующего потока импульса, переносимого частицами, которые пересекают за единицу времени поверхность S  в окрестности точки x₀. Под результирующим потоком понимается разность между потоками, переносимыми частицами, которые пересекают поверхность в положительном и отрицательном направлении вектора n.

   Система координат 

    Рассмотрим декартову систему координат (x₁, x₂, x₃) с центром O, совпадающим с точкой x₀ и осью Ox₃, направленной вдоль вектора n. Наряду с декартовой системой рассмотрим также сферическую систему координат (O, r, φ, θ), полярная ось которой совпадает с осью Ox₃, а начало отсчёта азимута φ с осью Ox₁. 

    Точки x', лежащие на сфере радиуса λ с центром в точке О, имеют координаты

         x₁ = λ cos φ sin θ,

         x₂ = λ sin φ sin θ,                                                                                                                   

         x₃ = λ cos θ,

а единичный вектор s, направленный от x' к x₀, имеет в декартовой системе компоненты

         s₁ = – cos φ sin θ,

         s ₂ = – sin φ sin θ,                                                                                                                   

         s ₃ = – cos θ.

    Выраженные через вектор s точки на той же сфере имеют вид x' = x₀ – λs  и координаты

         x₁ = – λ s₁,

         x₂ = – λ s₂,                                                                                                                             

         x₃ = – λ s₃.

   Тепловые скорости и скорость течения  

    По определению понятий скорости течения v = v(х, t) и тепловой скорости ω вектор w скорости частицы в лабораторной системе отсчёта представляется в виде суммы:

        w = v + ω.                                                                                                                                            (1)                                                 

    Если обозначить через s единичный вектор направления скорости w в лабораторной системе, то при выполнении условий Леммы Z фигурирующая в (1) тепловая скорость с величиной ω порядка или больше среднего значения имеет направление близкое к s. Таким образом, при использовании тензорной нотации вектор w представляется формулой:

        w_i = v_i + ω s_i.                                                                                                                                        (2)

    В правой части (2) первое слагаемое v_i является детерминированной (неслучайной) величиной, тогда как второе слагаемое содержит в качестве множителя распределённую по Максвеллу случайную величину ω.

    При наличии локального термодинамического равновесия абсолютные величины ω векторов тепловых скоростей принимают случайные значения в соответствии с распределением Максвелла, а средние значения первой и второй степеней абсолютной величины тепловой скорости представляются формулами

              ‹ω›(T) =  (8 kT /πm)^½ = α T ^½,                                                                                                        (3)

              ‹ω²›(T) = 3 m ^–1 kT,                                                                                                                         (4)

где

  α = (8k/πm)^½, м/(с∙К^½).

    Направления векторов тепловых скоростей равномерно распределены по полному телесному углу 4π.

   Плотность потока импульса как интеграл по направлениям прилёта  

    Частица газа, прилетающая к поверхности S со скоростью w_i в лабораторной системе отсчёта, имеет согласно (2) вектор импульса

   G_i = т w_i = т (v_i + ω s_i).                                                                                                                           (5)

    Плотность потока импульса q_i(x₀, n, t) через площадку с вектором нормали n представляется в виде интеграла по всем возможным направлениям вектора s, т.е. по полному телесному углу Ω, от плотности потока импульса с заданного направления J_i(x₀, s, n,  t), переносимого частицами, вектор скорости которых в лабораторной системе w имеет направление s:

         q_i(x₀, n, t) = ∫ J_i(x₀, s, n,  t) dΩ,                                                                                                            (6)

                                     Ω                            

где dΩ = sinθ dφ dθ.

    Величина J_i(x₀, s, n,  t) зависит от скорости и количества частиц, прилетающих в область осреднения А(x₀) со стороны, противоположной по направлению вектору s. Соответствующие вероятностные параметры определяются значениями основных газодинамических функций в точке x', в окрестности которой произошли последние столкновения рассматриваемой частицы с другими частицами. Точка x' отстоит от начала отсчёта x₀ на расстояние, примерно равное средней длине свободного пробега λ и находящейся в направлении, противоположном вектору s, т.е. можно принять  

    x' = x₀ – λs.                                                                                                                                

    Как видно из (1) и (2), при наличии локального термодинамического равновесия и выполнении условий Леммы Z направления полёта частиц, вылетающих из А(x') и имеющих не очень малую тепловую скорость, равномерно распределены по полному телесному углу 4π, т.е. для любого направления вылета s внутри телесного угла dΩ вокруг s за единицу времени вылетает (4π)^{– 1} n(x', t) dΩ  частиц. Количество частиц, пересекающих за единицу времени единицу площади поверхности, нормальной к n, пропорционально также компоненте w₃ скорости частицы. Таким образом, с учётом (2) и (5),

      J_i(x₀, s, n,  t) = (4π)^{– 1} т n ‹(v_i + ω s_i) (v₃+ ω s₃)› = (4π)^{– 1} т n [v_i v₃ + ‹ω›( v_i s₃ + v₃ s_i ) + ‹ω²› s_i s₃],  (7)

 где значения всех функций вычисляются в точке x' в момент времени t.

   Плотность потока импульса как функция ориентации площадки

    Подставляя в (7) вместо средних значений степеней скорости их величины согласно (3) и (4), а полученный результат в (6), получаем:

   q_i(x₀, n, t) =                                                                                                                                                (8)

      = (4π)^{– 1} ∫ ρ[v_i v₃ + α T ^½ (v_i s₃ + v₃ s_i) + 3 R T s_i s₃] dΩ,                                     

                         Ω                            

где

  R = k/m – газовая постоянная,

 причём все функции в подынтегральном выражении вычисляются в точке x' в момент времени t.

    В предположении о дифференцируемости функций ρ(x), T(x), и v₃(x), а также малости числа Z

                     Z << 1                                                                                   

использование утверждение А, В и С Основной леммы теории переноса позволяет в линейном приближении по малому параметру λ получить для компонент вектора q_i выражение, в котором все функции и их производные вычисляются в точке x₀ в момент времени t:

  q_i(x₀, n, t) = ρ v_i v₃ – 1/3 λ [(П v_i)_{, 3} + (П v₃)_{, i}] + р δ_i3.                                                                               (9)

где                          

  П = ρ ‹ω› = α ρ T ^½ – диффузионный потенциал;

  р = n k T = ρ R T – давление, Па;                                                                                         

  R = k/m – газовая постоянная, Дж∙(кг∙К) ^–1.

   Тензор плотности потока импульса

    Переходя от специального выбора системы координат, при котором направление нормали n к площадке совпадало с направлением оси Ох₃, к общему случаю, получаем для тензора плотности потока импульса P_{i j} выражение:

    P_{i j} = P ^SS_{i j} + P ^ST_{i j} + P ^TS_{i j} + P ^TT_{i j},                                                                                                       

где

   P ^SS_{i j} = ρ v_i v_j – симметричный тензор плотности потока импульса течения, переносимого течением, 

   P ^ST_{i j} = – 1/3 λ (П v_i)_{, j} – тензор плотности потока импульса течения, переносимого тепловым движением,

   P ^TS_{i j} = – 1/3 λ (П v_j)_{, i} – тензор плотности потока импульса теплового движения, переносимого течением,

   P ^TT_{i j} = р δ_ij – шаровой тензор давления, определяющий плотность потока импульса теплового движения, переносимого тепловым движением.

    Сумма тензоров P ^ST_{i j} и P ^TS_{i j}, взятая с обратным знаком,

   τ _{i j} = 1/3 λ [(П v_i)_{, j} + (П v_j)_{, i}],                                                                                                                 (10)

образует симметричный тензор, называемый тензором вязкости.

    При не очень низких температурах и плотностях относительный градиент скорости оказывается по модулю значительно больше, чем относительные градиенты плотности и температуры. В этих условиях можно вынести диффузионный потенциал П из под знака градиента, в результате чего формула (10) приобретает вид:

   τ _{i j} = η (v_{i, j} + v_{j, i}),                                                                                                                                     (11)

где        

  η = β T ^½ – сдвиговая вязкость или просто вязкость,                                                                             (12)

  β = α γ/3 = 2/3 σ^–1 (mk/π)^½.                                                                                                                   

    Выражение (12) для вязкости с точностью до обозначений совпадает с формулой, полученной в середине IX века Максвеллом.

    По сложившейся традиции тензор

      Σ _{i j} = – р δ_ij + τ _{i j}

называется тензором напряжений в газе, определяющим некие фиктивные «поверхностные силы». Формула (10) при такой интерпретации определяет тензор вязких напряжений и выражает обобщённый закон вязкости Стокса, формула (11) – классический закон Стокса для вязкого газа в частном случае, когда объёмная вязкость ζ связана с вязкостью η соотношением

            ζ = 2/3 η.                                                                                                                                            (13)

    Использование понятия «поверхностных сил» даёт правильный результат при выводе уравнения баланса импульса в газе, однако приводит к существенной ошибке при выводе уравнения баланса энергии, т.к. реальных поверхностных сил в газе нет. 

    Влияние сил на изменение импульса

    Дальнодействующие силы, создаваемые гравитационными макрополями, придают одинаковое ускорение всем частицам газа. Следовательно, эти силы меняют скорость течения, но не влияют на тепловые скорости.

    Близкодействующие усилия, обусловливающие попарное взаимодействие частиц при столкновениях, не меняют суммарный импульс частиц, участвующих в столкновениях, а, значит, не влияют на скорость течения. Главная роль этих усилий, имеющих случайный характер, состоит в создании молекулярного хаоса, являющегося основным условием установления ЛТР.

    В случае сильно разреженного газа, когда столкновения редки и основное влияние на движение частиц оказывают дальнодействующие силы, ЛТР не устанавливается и, следовательно, утрачивается возможность содержательного определения понятий температура и давление.  

  Уравнение баланса импульса в дивергентной форме

   Для составления баланса импульса, являющегося векторной величиной, необходимо рассмотреть следующие величины.

1) Вектор объёмной плотности импульса, 

    Ψ_i = ρv_i.                                                                                                                                                    (14)

2) Тензор плотности потока импульса Р_ij, имеющий согласно (9) и (10) вид

    P_{i j} = ρ v_i v_j + р δ_ij – τ _{i j}.                                                                                                                           (15)     

3) Вектор Ξ_i объёмной плотности источников или стоков, роль которых в данном случае играет вектор объёмной плотности внешних дальнодействующих сил:

    Ξ_i = ρg_i, где                                                                                                                                               (16)  

  g_i – вектор ускорения макрополя внешних дальнодействующих сил.

   С использованием теоремы Гаусса-Остроградского нетрудно показать, что дифференциальное уравнение баланса импульса в единице объёма представляется в виде:

     `Ψ_i + P_{i j,  j} = Ξ_i,                                                                                                                                        (17)                                                                                                     

где значок «`» означает оператор взятия частной производной по времени.

    С учётом (10) и (14)-(16) из (17) следует дивергентная форма уравнения баланса импульса:

     `(ρv_i) + (ρ v_i v_j)_{,  j} + р_{, i} =                                                                                                                          (18)

                  = 1/3 {λ [(П v_i)_{, j} + (П v_j)_{, i}] }_{,  j} + ρg_i.                        

    В тех случаях, когда для тензора вязкости можно использовать приближённое выражение (11), уравнение (18) упрощается и совпадает с феноменологическим уравнением движения вязкого газа при наличии связи (13) между объёмной и сдвиговой вязкостью:

     `(ρv_i) + (ρ v_i v_j)_{,  j} + р_{, i} = η (v_{i, j j} + v_{j, i j}) + ρg_i.                        

 

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления:  10.03.09

Главная страница

Физика и физические мифы