Главная страница

Физика и физические мифы

Баланс полной энергии единицы объёма газа

Список основных обозначений

 g_i – вектор ускорения гравитационного макрополя, м/с²;

 I(x, t) – удельная внутримолекулярная энергия, Дж/кг;  

  k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана;    

  т – масса молекулы газа, кг;

  п – числовая плотность газа, м^–3; 

  р = ρ R T – величина, которая, как следует из выражения для плотности потока импульса, играет роль давления, Па;                                          

  R = k/m – газовая постоянная, Дж/(кг∙К);

  Т – температура, К;

  t – время, с; 

 U(х, t) = 3/2 R T + I – удельная внутренняя энергия, Дж/кг;

 U*(х, t) = 2 R T + I  = U + ½ R T  – транспортная удельная внутренняя энергия, Дж/кг;

  v_i – вектор скорости течения, м∙с ^–1;

  W = ½ v_j v_j  – удельная энергия течения,  Дж/кг;

  х – радиус-вектор точки пространства, м;

  α = (8R /π)^½ – постоянный для данного газа коэффициент, м/(с∙К^½) (см. Таблицу 1);

  β = 0.385 т^1/3 ρ_с^2/3 – постоянный для данного газа коэффициент, кг/м² (см. Таблицу 1);

  γ = α β/3 – постоянный для данного газа коэффициент перноса, Па∙с / К^½ (см. Таблицу 1);

  δ_ij – символ Кронекера;

  Θ = Т / (Т + ½ Т_с);

  λ = β υ Θ – средняя длина свободного пробега, м;

  η = 1/3 λ П = γ T ^½ Θ – вязкость газа, Па∙с;

  П = ρ ‹ω› = α ρ T ^½ – диффузионный потенциал, кг/(м²∙с);

  ρ = т п – массовая плотность, кг/м³;

  υ = ρ ^–1 – удельный объём, м³/кг;

  ‹а› – среднее значение величины а;

  F`(х, t) = ∂F /∂t – частная производная по времени от функции F .

 

   Система координат 

    Пусть

x₀ – произвольная точка пространства, неподвижная в лабораторной системе отсчёта;

dS  – содержащая точку x₀ площадка с единичным вектором нормали n и площадью dА;

t – произвольный момент времени.

    Рассмотрим декартову систему координат (x₁, x₂, x₃) с центром O, совпадающим с точкой x₀ и осью Ox₃, направленной вдоль вектора n. Наряду с декартовой системой рассмотрим также сферическую систему координат (O, r, φ, θ), полярная ось которой совпадает с осью Ox₃, а начало отсчёта азимута φ с осью Ox₁. 

    Точки x', лежащие на сфере радиуса λ с центром в точке О, имеют координаты

         x₁ = λ cos φ sin θ,

         x₂ = λ sin φ sin θ,                                                                                                                  

         x₃ = λ cos θ,

а единичный вектор s, направленный от x' к x₀, имеет в декартовой системе компоненты

         s₁ = – cos φ sin θ,

         s ₂ = – sin φ sin θ,                                                                                                                   

         s ₃ = – cos θ.

    Выраженные через вектор s точки на той же сфере имеют вид x' = x₀ – λs  и координаты

         x₁ = – λ s₁,

         x₂ = – λ s₂,                                                                                                                             

         x₃ = – λ s₃.

   Следствия локального термодинамического равновесия  

    По определению понятий скорости течения v = v(х, t) и тепловой скорости ω вектор w скорости частицы в лабораторной системе отсчёта представляется в виде суммы:

        w = v + ω.                                                                                                                            (1)                                                  

    Если обозначить через s единичный вектор направления скорости w в лабораторной системе, то при выполнении условий Леммы Z фигурирующая в (1) тепловая скорость с величиной ω порядка или больше среднего значения имеет направление близкое к s. Таким образом, при использовании тензорной нотации вектор w представляется формулой:

        w_i = v_i + ω s_i.                                                                                                                       (2)

    В правой части (2) первое слагаемое v_i является детерминированной (неслучайной) величиной, тогда как второе слагаемое содержит в качестве множителя случайную величину ω.

    При локальном термодинамическом равновесии (ЛТР) абсолютные величины ω векторов ω тепловых скоростей принимают случайные значения в соответствии с распределением Максвелла, а средние значения первых трёх степеней абсолютной величины тепловой скорости представляются формулами

              ‹ω›(T) =  (8 RT /π)^½ = α T ^½,                                                                                          (3)

              ‹ω²›(T) = 3 RT,                                                                                                               (4)

              ‹ω³›(T) = 8 (2/π)^½ (RT) ^3/2 = 4RT ∙‹ω›(T),                                                                       (5)

где

  R = k/m – газовая постоянная,

  α = (8R/π)^½, м/(с∙К^½).

    Направления векторов ω равномерно распределены по полному телесному углу 4π.

   Энергия, переносимая частицей газа  

   Для молекул, имеющих, кроме поступательного движения, другие (внутренние) степени свободы, переносимая молекулой энергия Е представляется в виде суммы кинетической энергии поступательного движения Е ^kin и внутримолекулярной энергии E ^int.

              Е = Е ^kin + E ^int.                                                                                                              (6)

   При этом из (2) и равенства

               s _j s _j = 1

следует, что

   Е ^kin = ½  т w_j w_j = ½ т v_j v_j + т ω v_j s_j + ½ т ω² s_j s_j =                                                        (7)

     = ½  т (v_j v_j + ω²) + т ω v_j s_j.

    При каждой конкретной температуре среднее значение энергии Е ^int, связанной с внутренними степенями свободы, представляется в виде:

              ‹Е ^int› = т I.                                                                                                                      (8)

    Предполагая, что энергия внутренних степеней свободы слабо коррелирована с величиной тепловой скорости, можно считать, что

              ‹E ^int ω› = ‹E ^int›‹ω› = α т I T ^½.                                                                                      (9)  

   Плотность потока энергии как интеграл по направлениям прилёта   

    Целью данного раздела является определение плотности результирующего потока энергии, переносимого молекулами газа, которые пересекают площадку dS, т.е. функции q(x₀, n, t), такой что произведение q(x₀, n, t) dА представляет собой разность между потоками энергии, переносимыми молекулами, которые пересекают площадку dS в положительном и отрицательном направлении вектора n.

    Величина q(x₀, n, t) представляется в виде интеграла по всем возможным направлениям вектора s, т.е. по полному телесному углу Ω, от плотности потока энергии с заданного направления J(x₀, n,  s, t), переносимого молекулами, вектор скорости которых в лабораторной системе w имеет направление s:

         q(x₀, n, t) = ∫ J(x₀, s, n, t) dΩ,                                                                                               (10)

                                       Ω                            

где dΩ = sinθ dφ dθ.

    Величина J(x₀, s, n,  t) зависит от скорости и количества молекул, прилетающих в область осреднения А(x₀) со стороны, противоположной по направлению вектору s. Соответствующие вероятностные параметры определяются значениями основных газодинамических функций в точке x', в окрестности которой произошли последние столкновения рассматриваемой молекулы с другими молекулами. Точка x' отстоит от начала отсчёта x₀ на расстояние, в среднем равное средней длине свободного пробега λ и находящейся в направлении, противоположном вектору s, т.е. можно принять  

    x' = x₀ – λs.                                                                                                                                

    Как видно из (1) и (2), при наличии ЛТР и выполнении условий Леммы Z направления полёта молекул, вылетающих из А(x') и имеющих не очень малую тепловую скорость, равномерно распределены по полному телесному углу 4π, т.е. для любого направления вылета s внутри телесного угла dΩ вокруг s за единицу времени вылетает (4π)^{– 1} n(x', t) dΩ  молекул. Количество молекул, пересекающих за единицу времени единицу площади поверхности, нормальной к n, пропорционально также компоненте w₃ скорости частицы. Таким образом, с учётом (2) и (6)-(9),

      J(x₀, s, n, t) = (4π)^{– 1} n ‹Е (v₃+ ω s₃)› =                                                                                    (11)

       = (4π)^{– 1} n [(½  т v_j v_j + ½ т ‹ω²› + т‹ω› v_j s_j + ‹E ^int›)v₃ +

                                       + (½ т v_j v_j + ½ т ‹ω³›/‹ω› + ‹E ^int›)‹ω› s₃ +

                                        + т v_j ‹ω²› s_j s₃)],                                                        

где значения всех функций вычисляются в точке x' в момент времени t.

  Плотность потока энергии как функция ориентации площадки

    Преобразуя выражение (11) с использованием формул (2)-(5) и (8)-(9) и подставляя полученный результат в (10), получаем:

      q(x₀, n, t) =                                                                                                                               (12)

    = (4π)^{– 1} ∫{ρ (W + U) v₃ + П [ (W + U*) s₃ + v_j v₃ s_j] + 3 рv_j s_j s₃)}dΩ,                                   

                       Ω                            

где обозначено

  W = ½ v_j v_j  – связанная с течением удельная энергия (энергия единицы массы газа);

  U = (½ т ‹ω²› + ‹Е ^int›)/ т =  3/2 R T + I  – удельная внутренняя энергия (связанная с тепловым движением энергия единицы массы) газа;

  U* = (½ т ‹ω³›/‹ω› + ‹Е ^int›)/ т =  2 R T + I  = U + ½ R T – транспортная удельная внутренняя энергия;

  П = ρ ‹ω› = α ρ T ^½ – диффузионный потенциал;

   р = n k T = ρ R T – давление.                                                                               

    Как и в (11), все функции в подынтегральном выражении (12) вычисляются в точке x' в момент времени t.

    В предположении о дифференцируемости функций ρ(x), T(x), и v₃(x), а также малости числа Z

                     Z << 1                                                                                  

использование утверждение А, В и С Основной леммы теории переноса позволяет в линейном приближении по малому параметру λ представить плотность потока энергии через площадку с нормалью n в виде: 

    q(x₀, n, t) =                                                                                                                                (13)

     = ρ(W + U)v₃ – 1/3 λ [П (W + U*)]_{, 3} – 1/3 λ (П v_j v₃ )_{, j}  +  рv₃.               

   Все функции в правой части (13) вычисляются для значений аргументов x₀, t.           

   Как следует из известной формулы для средней длины свободного пробега

     λ = βυ,                                                                                                                                      

где

   β = т (2^½ σ) ^{– 1},

   υ = ρ ^–1 – удельный объём.

  Вектор плотности потока энергии

    Вследствие малости числа Z  относительный градиент скорости оказывается по модулю значительно больше, чем относительные градиенты плотности и температуры. Это означает, что при дифференцировании выражений типа П v_j v_i диффузионный потенциал П можно вынести из-под знака градиента. В результате, переходя от специального выбора системы координат, при котором направление нормали n к площадке совпадало с направлением оси Ох₃, к общему случаю, получаем из (15) выражение для вектора плотности потока энергии:

  Q_i = Q^SS_i + Q^ST_i + Q^TS_i + Q ^TT_i + Q^IS_i + Q ^IT_i,

где

Q^SS_i = ρW v_i

    – вектор плотности потока энергии течения, переносимого течением,

Q^ST_i = – ηW_{, i}

    – вектор плотности потока энергии течения, переносимого тепловым движением,

Q^TS_i = ρU v_i

    – вектор плотности потока энергии теплового движения, переносимого течением,

Q^TT_i = –1/3 λ(П U*)_{, i}                                                                                                                   (14)

    – вектор теплопроводности – плотности потока энергии теплового движения, переносимого тепловым движением,

Q^IS_i = – η (v_j v_i )_{, j} 

    – вектор плотности переносимого течением потока энергии взаимодействия течения и теплового движения,

Q ^IT_i = рv_i

    – вектор плотности переносимого тепловым движением потока энергии взаимодействия течения и теплового движения,

    Соотношение (14) для вектора теплопроводности с точностью до обозначений совпадает с формулой, приведенной в книге [Gombosi, Tamas I. Gaskinetic Theory. Cambridge (England), New York: Cambridge University Press, 1994. – 297 p.].

    Вектор теплопроводности, в свою очередь, представляется в виде суммы

  Q^TT_i = Q^TTρ_i + Q^TTТ_i,

где

Q^TTρ_i = – ξ (ln ρ)_{, i}  

    – вектор плотностной теплопроводности,

Q^TTT_i = – κ T_{, i}                                                                                                                   

    – вектор температурной теплопроводности, 

ξ = γ T ^½ U*

    – коэффициент плотностной теплопроводности,

γ = α β/3,

κ = d ξ /dT = γ d/dT (T ^½ U* )                                                                                                      (15)

    – коэффициент температурной теплопроводности.

     Формула (15) для коэффициента температурной теплопроводности переходит в известную формулу кинетической теории газов, если вынести T ^½ из под знака производной и заменить транспортную внутреннюю энергию U* на обычную U.

    Влияние сил на изменение энергии

    Дальнодействующие силы, создаваемые гравитационными макрополями, придают одинаковое ускорение всем частицам газа. Следовательно, эти силы меняют энергию течения, но не влияют на энергию теплового движения.

    Близкодействующие усилия, обусловливающие попарное взаимодействие частиц при столкновениях, не меняют суммарную энергию частиц, учитывающую внутренние степени свободы, а, значит, не влияют на полную энергию W + U. Главная роль этих усилий, имеющих случайный характер, состоит в создании молекулярного хаоса, являющегося основным условием установления ЛТР. 

    В случае сильно разреженного газа, когда столкновения редки и основное влияние на движение частиц оказывают дальнодействующие силы, ЛТР не устанавливается и, следовательно, утрачивается возможность содержательного определения понятий температура и давление.  

    Уравнение баланса полной энергии в дивергентной форме

   С использованием теоремы Гаусса-Остроградского нетрудно показать, что для любой физической величины, характеризующей физическое состояние или течение газа, дифференциальное уравнение баланса этой величины в единице объёма имеет вид:

     `ψ + θ_{i, i} = ξ,                                                                                                                            (16)         

где  

ψ(х, t) – поле объёмной плотности, 

θ_i(х, t) – записанное в тензорной нотации векторное поле плотности потока,

ξ(х, t) – объёмная плотность источников или стоков,

а значок «`» означает оператор взятия частной производной по времени.

   В случае баланса полной энергии имеем:

    ψ = ρ(W + U),                                                                                                                          (17)

    θ_i = Q_i = ρW v_i – η W_{, i} + ρU v_i  – 1/3 λ (П U*)_{, i} – η (v_j v_i )_{, j} + рv_i.                                       (18)             

   В качестве объёмной плотности источников и стоков выступает в рассматриваемом случае величина

    ξ = ρ g_i v_i,                                                                                                                                 (19)  

где 

  g_i – вектор ускорения гравитационного макрополя.

   По тем же соображениям, по которым диффузионный потенциал П был вынесен из-под знака производной при дифференцировании выражений типа П v_j v_i, можно вынести из-под знака производной вязкость η при вычислении дивергенции вектора Q^IS_i. Подстановка выражений (17)-(19) в общее уравнение баланса (16) даёт тогда следующее уравнение баланса полной энергии в дивергентной форме:

   `[ρ(W + U)] + [ρ(W + U) v_i]_{, i} + (рv_i)_{, i} =                                                                                   (20)

              = 1/3{λ [П(W +U*)]_{, i}}_{, i} + η (v_j v_i )_{, ji} + ρ g_i v_i.

 

И.С. Житомирский

Дата последнего обновления:  09.10.09

Главная страница

Физика и физические мифы